Exercice sur les limite

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Jean

Exercice sur les limite

Message par Jean » lun. 2 janv. 2023 19:58

Bonsoir j'ai un exercice que je bloque.
On considère la fonction f de R vers R définie par f(x)=1/x*(Sqrt(1+x^2)-1).
Démontre que Lim f(x)=0
x tend vers 0
Je sais que DLimit(1/x,x,0)=Infinity et DLimit(Sqrt(1+x^2)-1,x,0)=0 donc on se retrouve avec une forme indéterminée que j'ai du mal à résoudre
sos-math(21)
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Re: Exercice sur les limite

Message par sos-math(21) » mar. 3 janv. 2023 10:49

Bonjour,
je te conseille de multiplier en haut et en bas par l'expression conjuguée de \(\sqrt{x^2+1}-1\) :
\(\dfrac{1}{x}\times( \sqrt{x^2+1}-1)=\dfrac{( \sqrt{x^2+1}-1)( \sqrt{x^2+1}+1)}{x(\sqrt{x^2+1}+1)}\)
Au numérateur, cela te fait apparaître une identité remarquable de la forme \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), ce qui va faire disparaître la racine carrée au numérateur. Il te restera à simplifier, ce qui lèvera l'indétermination.
Bonne conclusion
Jean

Re: Exercice sur les limite

Message par Jean » mar. 3 janv. 2023 12:31

Après calcul et simplification j'ai trouvé 0/2 d'où la limite de f(x)=0
sos-math(21)
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Re: Exercice sur les limite

Message par sos-math(21) » mar. 3 janv. 2023 12:45

Bonjour,
ton résultat me semble correct, la limite est bien égale 0.
Bonne continuation
Jean

Re: Exercice sur les limite

Message par Jean » mar. 3 janv. 2023 13:30

Merci beaucoup
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