tangente et dérivée

[Baptiste]

Bonjour,

Je n'arrive pas à terminer l'exercice suivant :

Une portion d'une piste pour quads est modélisée dans un repère orthogonal par la fonction f définie sur l'intervalle [-3;6] par f(x) = \(frac{3}{100}x^3+frac{3}{20}x^2\).
Un jeune conducteur, téméraire et imprudent, est sorti de la piste et a continué sa trajectoire sur sa lancée en suivant une trajectoire rectiligne définie par la tangente à la courbe de f.
Sachant qu'il a heurté un poteau, sans se blesser, situé au point P de coordonnées (10;15), déterminer une valeur approchée à \(10^-2\) des coordonnées du point où il a quitté la piste.

J'ai donc écrit l'équation de la tangente de la piste selon la formule y = f'(a) (x-a) + f(a) en conisdérant a comme l'abscisse du point qui est l'interesection de la courbe et de la tangente. J'ai considéré que la tangente passe par P donc les coordonnées de P vérifient l'équation de la tangente soit 15 = f'(a) (10-a) + f(a). Cependant, je tombe sur un polynôme du troisième degré et je suis coincé pour résoudre.

Il y a aussi un schéma, je vois donc que a est compris entre 2 et 4, mais je n'arrive pas à le démontrer.

Pourriez-vous me donner un coup de pouce pour me débloquer, s'il vous plait ?

MErci

Baptiste

[SoS-Math(33)]

Bonjour Baptiste,
ta fonction est bien \(f(x)=3100x^3+320x^2\) ?
Peux tu joindre une photo du schéma?
SoS-math

[bAPTISTE]

Bonjour,

la fonction est f(w) = 3x^3/100+3x^2/20.
J'ai mis la photo du schéma en pièce jointe,

merci de votre aide

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
ce que tu as fait avec l'équation de la tangente est une bonne idée, il te faut poursuivre par dichotomie pour trouver la valeur de a.
Que trouves tu pour ton équation en a?
SoS-math

[Baptiste]

Bonjour

J'ai trouvé l'équation suivante -2a^3/5 + 5 a^2 +20 a = 100
D'après le graphique et le domaine de définition, le point de tangence se trouve entre 2 et 4
J'ai calculé la valeur pour a = 2 puis a = 4
ensuite j'ai calculé a = 3 , j'arrive à 94,5, je suis proche
puis là, je n'arrive pas à conclure

Merci de votre aide

[SoS-Math(33)]

Bonjour,ton équation simplifiée semble correcte.
Tu peux la mettre sous la forme :\( \dfrac{-2}{5}a^3 + 5 a^2 +20 a - 100 = 0\).
Il te faut ensuite utiliser la calculatrice en mode Table ou un tableur pour trouver la valeur de \(a\) à \(10^{-2}\)
Tu as calculé pour 2 ; 3 ; et 4 donc tu dois te rendre compte que la valeur est entre 3 et 4.
Tu recommences les calculs entre 3 et 4 avec un pas de 0,1 pour avoir un encadrement à \(10^{-1}\)
Puis tu recommences entre les deux valeurs trouvées avec un pas de \(10^{-2}\) pour obtenir la réponse à la question.
Je te laisse faire les calculs.
Tu peux repasser pour vérification de ton résultat.
SoS-math