Généralités sur les fonctions

Retrouver tous les sujets résolus.
Répondre
Maxime

Généralités sur les fonctions

Message par Maxime » sam. 17 déc. 2022 20:31

Bonsoir j'ai un exercice et j'ai besoin d'aide pour le terminer.
Soit l'application f de R\{-5} vers R telle que f(x)=2x-3/(x+5).
1) démontre que f est injective
2) résous dans R \{-5} f(x)=2
3) l'application f est t'elle surjective, bijective ? Justifie ta réponse
Réponse
1) démontrons que l'équation f(x)=y admet au plus une solution dans R\{-5}
Quand je resous l'équation je trouve sauf erreur f(x)=5y+3/(2-y) donc on peut en déduire que f est injective
2) f(x)=2 équivaut à 2x-3=2x+10 quand je ramène tout d'un côté je trouve 0x ce que je ne comprends pas très bien
sos-math(21)
Messages : 10334
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Généralités sur les fonctions

Message par sos-math(21) » dim. 18 déc. 2022 09:54

Bonjour,
quand tu résous \(f(x)=y\), tu arrives à \(x(2-y)=5y+3\) : tu ne peux diviser que si \(2-y\neq 0\).
Donc pour \(y=2\), l'équation n' a pas de solution et pour \(y\neq 2\), l'équation a une seule solution \(x=\dfrac{5y+3}{2-y}\).
Donc au final, l'équation \(f(x)=y\) a au plus une solution donc pour toute valeur de \(y\) de l'ensemble d'arrivée, \(f\) a au plus un antécédent, donc \(f\) est injective.
Une autre manière de montrer l'injectivité, est de montrer que si \(f(x)=f(x')\) alors \(x=x'\) :
on part de \(\dfrac{2x-3}{x+5}=\dfrac{2x'-3}{x'+5}\).
En calculant les produits en croix et en développant, on a \(2xx'+10x-3x'-15=2xx'-3x+10x'-15\), on peut simplifier et réduire :
\(10x-3x'=-3x+10x'\), qui donne \(13x-13x'=0\) soit \(13(x-x')=0\) donc \(x=x'\).
Pour la suite, l'équation \(f(x)=2\) mène à ce que tu as obtenu \(2x-3=2x+10\) soit en simplifiant \(-3=10\) ce qui est faux donc l'équation n'a pas de solution.
Ainsi avec cet exemple, tu montres que \(f\) n'est pas surjective car il existe un élément de l'ensemble d'arrivée qui n'a pas d'antécédent.
Ainsi, \(f\) n'étant pas surjective, elle n'est pas bijective.
Est-ce plus clair ?
Maxime

Re: Généralités sur les fonctions

Message par Maxime » dim. 18 déc. 2022 13:48

Bonjour. J'ai très bien compris merci beaucoup
sos-math(21)
Messages : 10334
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: Généralités sur les fonctions

Message par sos-math(21) » dim. 18 déc. 2022 13:58

Bonjour,
Tant mieux si ces explications t’ont permis de surmonter tes difficultés.
Bonne continuation et à bientôt sur sos math
Répondre