Bijection d'une fonction

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Allain

Bijection d'une fonction

Message par Allain » mer. 7 déc. 2022 19:53

Bonsoir j'ai un exercice que j'ai commencé la première question où je suis bloqué.
Soit l'application f:R+ vers R+ qui à x on associe √x
1) demontre que f est une bijection. Soit f ¹ la bijection réciproque.
2) calcul f-¹(2√2) et f-¹(5)
3 détermine l'application f-¹
Pour la première question. On sait que la fonction racines carrées admet une bijection de R+ vers R+ , alors f est bijective
sos-math(21)
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Re: Bijection d'une fonction

Message par sos-math(21) » mer. 7 déc. 2022 20:34

Bonjour,
la fonction racine carrée est continue et strictement croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), d'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle définit une bijection de \([0\,;\,+\infty[\) vers \([f(0)\,; \, \lim_{x\to+\infty}f(x)[\) soit \([0\,;\,+\infty[\).
La bijection réciproque est la fonction carrée, je te laisse faire les calculs d'images.
Bonne continuation
Allain

Re: Bijection d'une fonction

Message par Allain » mer. 7 déc. 2022 20:38

Bonsoir excusez moi mais nous n'avons pas encore entamé la notion de limite ce cours est sur généralités des fonctions . Mais comment faire pour calculer les fonctions réciproque dans la deuxième question.
sos-math(21)
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Re: Bijection d'une fonction

Message par sos-math(21) » mer. 7 déc. 2022 20:52

Bonjour,
dans \(\mathbb{R}_+\), tu as l'équivalence \(\sqrt{x}=y\Longleftrightarrow x^2=y\).
Donc la fonction réciproque de la fonction racine carrée est la fonction carrée car il suffit de renverser l'égalité.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
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