Équation du second degré

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Samuel

Équation du second degré

Message par Samuel » lun. 31 oct. 2022 11:27

Bonjour j'ai un exercice et je ne comprends pas et j'aimerais avoir des indications pour résoudre l'exercice.
Soit f(x)=ax²+bx+c l'expression d'un polynôme du second degré tel que f(0)=-10 et qui admet le tableau de variation.f(x) est croissant sur l'intervalle moins Infini jusqu'à -3 et décroissant de -3 jusqu'à plus l'infini f(-3)=-5.
détermine sans calcul
a) le signe du nombre réel a
b) la valeur du nombre réel c
donne la forme canonique de f(x) en fonction de a
déduisant la forme développée de f(x) en fonction de a puis exprime b et c en fonction de a
déduis en la valeur de a et celle de b
J'ai trouvé facilement la première question le signe de a est négatif

MERCI
SoS-Math(33)
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Re: Équation du second degré

Message par SoS-Math(33) » lun. 31 oct. 2022 12:03

Bonjour,
Pour la valeur de \(c\) il faut utiliser l'information \(f(0)=-10\) ainsi tu vas trouver \(c=...\)
\(f(x)\) est croissante sur l'intervalle \(]-\infty;-3]\) et décroissante sur l'intervalle \([-3;+\infty[\) avec \(f(-3)=-5\).
La fonction admet donc un maximum pour \(x=-3\) qui est \(-5\) ce qui permet d'avoir les valeurs de \(\alpha\) et \(\beta\) de la définition de la forme canonique \(f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta\)
Tu as donc \(f(x)=a(x+3)^2-5\)
Il te faut ensuite développer cette expression.
Il te faudra en utilisant la forme \(ax^2+bx+c\) identifier les coefficients des puissances de \(x\) de même degré.
Est-ce plus clair pour toi?
Je te laisse faire les calculs.
SoS-math
Samuel

Re: Équation du second degré

Message par Samuel » lun. 31 oct. 2022 12:49

Quant on développe l'expression f(x)=a(x²+6x+9)-5=ax²+6ax+9a-5
Mais je n'arrive pas à vous suivre quand vous dites d'utiliser la forme ax²+bx+c
SoS-Math(33)
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Re: Équation du second degré

Message par SoS-Math(33) » lun. 31 oct. 2022 13:01

D'un côté tu as \(f(x) = ax^2+6ax+9a-5\) que tu viens d'obtenir en développant la forme canonique.
D'un autre côté tu as \(f(x) = ax^2+bx+c\) forme du polynôme du second degré.
Maintenant il faut comparer les termes en \(x\) de même exposant :
Pour les \(x^2\) : \(ax^2=ax^2\) donc \(a=a\)
Pour les \(x^1\) : \(6ax=bx\) donc \(b=6a\)
Pour les \(x^0\) : \(9a-5=c\)
Comme tu connais la valeur de \(c\) d'après la question b) tu vas trouver celle de \(a\) avec l'égalité \(9a-5=c\) puis celle de \(b\) avec l'égalité \(b=6a\)
Comprends tu la démarche?
SoS-math
Samuel

Re: Équation du second degré

Message par Samuel » lun. 31 oct. 2022 13:32

Oui je comprends la démarche on a faire pas identification pour les trouver les différentes valeurs.
Donc on aura a=-5/9 et b=-10/3
SoS-Math(33)
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Re: Équation du second degré

Message par SoS-Math(33) » lun. 31 oct. 2022 13:38

Oui c'est bien ça,
ainsi \(f(x) = \dfrac{-5}{9}x^2-\dfrac{10}{3}x-10\)
Tu peux vérifier avec GeoGebra que la fonction trouvée vérifie bien les données de l'énoncé
Capture.PNG
Bonne après midi
A bientôt sur le forum
SoS-math
Samuel

Re: Équation du second degré

Message par Samuel » lun. 31 oct. 2022 13:44

Merci beaucoup
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