Re bonjour, désolé je voulais mettre ma question ici (en première) je l'ai mis par erreur au forum du seconde
Bonjour, SVP je bloque sur cet exercice
ABC un triangle, A' milieu du [AB] donc (AA') est une médiane issue du point A
Soit M un point quelconque appartient à (AA')
On mène les droites (BM) et (CM) qui coupent (AC) et (AB) en T et S respectivement
* Montrer que les droites (TS) et (BC) sont parallèles.
Merci pour votre aide, j'ai essayé d'utiliser le fait que la médiane partage le triangle en deux triangles de même aires mais sans résultat
MERCI
montrer un parallélisme
-
SoS-Math(31)
- Messages : 1352
- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:33
Re: montrer un parallélisme
Bonjour Lye,
A'n'est-il pas le milieu de [BC] ?
A'n'est-il pas le milieu de [BC] ?
-
lye
Re: montrer un parallélisme
Bonjour
Oui effectivement A' est le milieu du [BC]
pardon pour cette erreur de frappe
Oui effectivement A' est le milieu du [BC]
pardon pour cette erreur de frappe
-
lye
Re: montrer un parallélisme
Bonjour
Je confirme que le point A' est le milieu de [BC] (excusez ma faute de frappe)
Y a-t-il un moyen de montrer ça avec les vecteur ? en prouvant par exemple que le vecteur(BC) = k*vecteur(ST) tel que k un réel
MERCI
Je confirme que le point A' est le milieu de [BC] (excusez ma faute de frappe)
Y a-t-il un moyen de montrer ça avec les vecteur ? en prouvant par exemple que le vecteur(BC) = k*vecteur(ST) tel que k un réel
MERCI
-
sos-math(21)
- Messages : 10152
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: montrer un parallélisme
Bonjour,
cet exercice est assez compliqué pour un niveau première.
On peut s'en sortir avec les aires dans un triangle, en calculant le rapport des aires avec la propriété suivante :
Pour un triangle quelconque \(ABC\) et un point \(N\) du segment \([AB]\), on a :
\(\dfrac{\text{Aire}(AMC)}{\text{Aire}(BMC)}=\dfrac{MA}{MB}\). Cette propriété se démontre assez facilement et il faut l'ensuite l'appliquer plusieurs fois pour obtenir que \(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{TA}{TC}\) puis conclure par la réciproque du théorème de Thalès.
La démonstration est assez longue et répétitive (il y a du calcul littéral) et je ne connais pas de démonstration avec du calcul vectoriel.
Bonne continuation
cet exercice est assez compliqué pour un niveau première.
On peut s'en sortir avec les aires dans un triangle, en calculant le rapport des aires avec la propriété suivante :
Pour un triangle quelconque \(ABC\) et un point \(N\) du segment \([AB]\), on a :
\(\dfrac{\text{Aire}(AMC)}{\text{Aire}(BMC)}=\dfrac{MA}{MB}\). Cette propriété se démontre assez facilement et il faut l'ensuite l'appliquer plusieurs fois pour obtenir que \(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{TA}{TC}\) puis conclure par la réciproque du théorème de Thalès.
La démonstration est assez longue et répétitive (il y a du calcul littéral) et je ne connais pas de démonstration avec du calcul vectoriel.
Bonne continuation
-
lye
Re: montrer un parallélisme
Bonjour,
Merci beaucoup pour l'idée je vais essayé de la développer.
En fait j'ai cherché sur le net et j'ai trouvé qu'il y a un "théorème du trapèze" qui peut être une solution à cet exercice mais sa démonstration n'est pas si facile.
MERCI
Merci beaucoup pour l'idée je vais essayé de la développer.
En fait j'ai cherché sur le net et j'ai trouvé qu'il y a un "théorème du trapèze" qui peut être une solution à cet exercice mais sa démonstration n'est pas si facile.
MERCI
-
Alexandre
Re: montrer un parallélisme
Bonjour on peut utiliser le barycentre
(A',2)=bary (B,1), (C,1)
(M,2+a)= bary (A,a),(A',2)
Donc (S,a+1)=bary(A,a),(B,1) et (T,a+1)=bary(A,a),(C,1)
Vecteur AS=1/(a+1)AB , et AT=1/(a+1)AC
D'ou ST=1/(a+1)BC donc les droite ST et BC sont parallèle
(A',2)=bary (B,1), (C,1)
(M,2+a)= bary (A,a),(A',2)
Donc (S,a+1)=bary(A,a),(B,1) et (T,a+1)=bary(A,a),(C,1)
Vecteur AS=1/(a+1)AB , et AT=1/(a+1)AC
D'ou ST=1/(a+1)BC donc les droite ST et BC sont parallèle
-
sos-math(21)
- Messages : 10152
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: montrer un parallélisme
Bonjour Alexandre,
il y a effectivement une solution avec le barycentre mais je ne l'ai pas proposée car le barycentre n'est plus au programme de première.
D'autre part, je ne connais pas cette notation :
Bonne continuation
il y a effectivement une solution avec le barycentre mais je ne l'ai pas proposée car le barycentre n'est plus au programme de première.
D'autre part, je ne connais pas cette notation :
Habituellement, on note \(A'=bar\left\lbrace (B,1), (C,1)\right\rbrace\).(A',2)=bary (B,1), (C,1)
Bonne continuation
-
sos-math(21)
- Messages : 10152
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: montrer un parallélisme
Bonjour,
si tu fais référence à cette propriété : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... rapeze.htm
Ce n'est pas tout à fait la même chose que ce qui t'est demandé, c'est plutôt la réciproque car dans ce cas, on te dit que les droites sont parallèles.
Dans ton énoncé, il faut le prouver donc il faut faire un raisonnement "inverse" et cela me semble plus compliqué.
Si tu le souhaites, je t'enverrai une proposition de démonstration.
Bonne continuation
si tu fais référence à cette propriété : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... rapeze.htm
Ce n'est pas tout à fait la même chose que ce qui t'est demandé, c'est plutôt la réciproque car dans ce cas, on te dit que les droites sont parallèles.
Dans ton énoncé, il faut le prouver donc il faut faire un raisonnement "inverse" et cela me semble plus compliqué.
Si tu le souhaites, je t'enverrai une proposition de démonstration.
Bonne continuation
-
lye
Re: montrer un parallélisme
Bonjour,
En bas de page on trouve " théorème du trapèze " avec le raisonnement inverse que vous avez cité.
Merci infiniment
Non j'ai fais référence plutôt à : https://fr.wikipedia.org/wiki/Trap%C3%A8zesos-math(21) a écrit : ↑mer. 31 août 2022 17:25si tu fais référence à cette propriété : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... rapeze.htm
En bas de page on trouve " théorème du trapèze " avec le raisonnement inverse que vous avez cité.
Oui j'aimerai bien et j'aime en général connaitre différentes façons de résoudre un exercice, donc y compris pour la méthode de barycentre que "Alexander" a citée même si je n'ai pas vraiment compris sa rédaction.Si tu le souhaites, je t'enverrai une proposition de démonstration
Merci infiniment
-
sos-math(21)
- Messages : 10152
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: montrer un parallélisme
Bonjour,
pour la démonstration, on part d'une propriété générale sur le rapport des aires dans un triangle :
Cette propriété se prouve en utilisant la hauteur commune aux deux triangles :
\(\dfrac{\text{aire}(ABM)}{\text{aire}(ACM)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BM\times HA}{\dfrac{1}{2}CM\times HA}=\dfrac{BM}{CM}\)
Quand on l'applique au triangle avec la médiane, on a l'égalité des aires \(\text{aire}(ABA')=\text{aire}(ACA')=a\) dans le triangle \(ABC\).
De même, dans le triangle \(BMC\), on a \(\text{aire}(MBA')=\text{aire}(MCA')=b\).
Ainsi, en nommant les deux aires \(c\) et \(d\), on a par différence les aires \(a-b-c\) et \(a-b-d\).
On obtient ensuite les rapports d'aire et de longueurs (première propriété) :
\(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{c}{a-b-c}\) dans le triangle \(AMB\) avec le partage selon \((MS)\)
\(\dfrac{TA}{TC}=\dfrac{d}{a-b-d}\) dans le triangle \(AMB\)avec le partage selon \((MT)\)
Puis en travaillant dans d'autres triangles :
\(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{c+d+a-b-d}{a-b-c+2b}=\dfrac{a-b+c}{a+b-c}\) dans le triangle \(ABC\) avec le partage selon \((CS)\)
\(\dfrac{TA}{TC}=\dfrac{c+d+a-b-c}{a-b-d+2b}=\dfrac{a-b+d}{a+b-d}\) dans le triangle \(ABC\) avec le partage selon \((BT)\)
On prend les deux expressions de la fraction \(\dfrac{SA}{SB}\) :
\(\dfrac{c}{a-b-c}=\dfrac{a-b+c}{a-c+b}\)
On fait les produits en croix en remarquant une identité remarquable \((a-b-c)(a-b+c)=((a-b)-c)((a-b)+c)=(a-b)^2-c^2\)
et \(c((a+b)-c)=c(a+b)-c^2\), soit en égalant ces deux produits en croix, on a les \(c^2\) qui s'éliminent et
\(c(a+b)=(a-b)^2\), donc \(c=\dfrac{(a-b)^2}{a+b}\)
Donc le rapport : \(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{\dfrac{(a-b)^2}{a+b}}{a-b-\dfrac{(a-b)^2}{a+b}}=\dfrac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)-(a-b)^2}=\dfrac{(a-b)^2}{2ab}\) en développant et réduisant l'expression du dénominateur
De la même manière, on a pour l'autre rapport \(\dfrac{TA}{TC}\) l'égalité des produits en croix :
\(d((a+b)-d)=(a-b)^2-d^2\) soit \(d=\dfrac{(a-b)^2}{a+b}\), ce qui prouve que \(d=c\).
On a ensuite en remplaçant \(d\) par \(c\) dans le quotient :
\(\dfrac{TA}{TC}=\dfrac{d}{a-b-d}=\dfrac{c}{a-b-c}=\dfrac{SA}{SB}\)
Ainsi, en faisant les produits en croix, on a :
\(SA\times TC = TA\times SB\),
En rajoutant le produit \(SA\times TA\) dans chaque membre, on a :
\(SA \times TC+SA\times TA=TA\times SB+SA\times TA\), soit en factorisant :
\(SA(TC+TA)=TA(SB+SA)\) soit \(SA\times AC=TA\times AB\) soit en divisant par \(AB\times AC\), on a :
\(\dfrac{AS}{AB}=\dfrac{AT}{AC}\).
Puis on applique la réciproque du théorème de Thalès qui assure alors que \((ST)//(BC)\).
Tu vois que la démonstration est assez longue et calculatoire.
Bonne consultation
pour la démonstration, on part d'une propriété générale sur le rapport des aires dans un triangle :
\(\dfrac{\text{aire}(ABM)}{\text{aire}(ACM)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BM\times HA}{\dfrac{1}{2}CM\times HA}=\dfrac{BM}{CM}\)
Quand on l'applique au triangle avec la médiane, on a l'égalité des aires \(\text{aire}(ABA')=\text{aire}(ACA')=a\) dans le triangle \(ABC\).
De même, dans le triangle \(BMC\), on a \(\text{aire}(MBA')=\text{aire}(MCA')=b\).
On obtient ensuite les rapports d'aire et de longueurs (première propriété) :
\(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{c}{a-b-c}\) dans le triangle \(AMB\) avec le partage selon \((MS)\)
\(\dfrac{TA}{TC}=\dfrac{d}{a-b-d}\) dans le triangle \(AMB\)avec le partage selon \((MT)\)
Puis en travaillant dans d'autres triangles :
\(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{c+d+a-b-d}{a-b-c+2b}=\dfrac{a-b+c}{a+b-c}\) dans le triangle \(ABC\) avec le partage selon \((CS)\)
\(\dfrac{TA}{TC}=\dfrac{c+d+a-b-c}{a-b-d+2b}=\dfrac{a-b+d}{a+b-d}\) dans le triangle \(ABC\) avec le partage selon \((BT)\)
On prend les deux expressions de la fraction \(\dfrac{SA}{SB}\) :
\(\dfrac{c}{a-b-c}=\dfrac{a-b+c}{a-c+b}\)
On fait les produits en croix en remarquant une identité remarquable \((a-b-c)(a-b+c)=((a-b)-c)((a-b)+c)=(a-b)^2-c^2\)
et \(c((a+b)-c)=c(a+b)-c^2\), soit en égalant ces deux produits en croix, on a les \(c^2\) qui s'éliminent et
\(c(a+b)=(a-b)^2\), donc \(c=\dfrac{(a-b)^2}{a+b}\)
Donc le rapport : \(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{\dfrac{(a-b)^2}{a+b}}{a-b-\dfrac{(a-b)^2}{a+b}}=\dfrac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)-(a-b)^2}=\dfrac{(a-b)^2}{2ab}\) en développant et réduisant l'expression du dénominateur
De la même manière, on a pour l'autre rapport \(\dfrac{TA}{TC}\) l'égalité des produits en croix :
\(d((a+b)-d)=(a-b)^2-d^2\) soit \(d=\dfrac{(a-b)^2}{a+b}\), ce qui prouve que \(d=c\).
On a ensuite en remplaçant \(d\) par \(c\) dans le quotient :
\(\dfrac{TA}{TC}=\dfrac{d}{a-b-d}=\dfrac{c}{a-b-c}=\dfrac{SA}{SB}\)
Ainsi, en faisant les produits en croix, on a :
\(SA\times TC = TA\times SB\),
En rajoutant le produit \(SA\times TA\) dans chaque membre, on a :
\(SA \times TC+SA\times TA=TA\times SB+SA\times TA\), soit en factorisant :
\(SA(TC+TA)=TA(SB+SA)\) soit \(SA\times AC=TA\times AB\) soit en divisant par \(AB\times AC\), on a :
\(\dfrac{AS}{AB}=\dfrac{AT}{AC}\).
Puis on applique la réciproque du théorème de Thalès qui assure alors que \((ST)//(BC)\).
Tu vois que la démonstration est assez longue et calculatoire.
Bonne consultation
-
lye
Re: montrer un parallélisme
Oui elle est longue mais au moins je comprend tout.
Merci
Merci
-
sos-math(21)
- Messages : 10152
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: montrer un parallélisme
L'intérêt de cette méthode est qu'elle utilise des outils que tu connais et qui restent du niveau fin de collège.
Si tu as compris, c'est très bien !
En complément, tu pourrais aussi montrer que la droite \((AA')\) coupe \([ST]\) en son milieu.
Bonne continuation
Si tu as compris, c'est très bien !
En complément, tu pourrais aussi montrer que la droite \((AA')\) coupe \([ST]\) en son milieu.
Bonne continuation
-
lye
Re: montrer un parallélisme
Bonjour,
Ce n'est pas moi qui a écrit ça 🙂 mais ce n'est pas grave.
Je dois vous remercier pour tous vos efforts c'est vrai qu'elle est longue la démonstration mais elle est jolie surtout comme vous l'avez dit elle utilise des connaissances acquises pour niv 1ere
Encore une fois merci infiniment et @+
-
sos-math(21)
- Messages : 10152
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: montrer un parallélisme
Bonjour,
c'est le défaut du forum, il n'y a pas d'identification donc il peu y a voir des personnes différentes derrière le même pseudo et nous ne pouvons pas nous en rendre compte.
L'important est que cette démonstration soit transmise à la personne qui en avait besoin et que cette personne ait compris le raisonnement.
Bon dimanche
c'est le défaut du forum, il n'y a pas d'identification donc il peu y a voir des personnes différentes derrière le même pseudo et nous ne pouvons pas nous en rendre compte.
L'important est que cette démonstration soit transmise à la personne qui en avait besoin et que cette personne ait compris le raisonnement.
Bon dimanche