Bonsoir j'ai une démonstration à faire sur le produit scalaire mais je ne comprends pas
u et v sont deux vecteur. Démonter que
1) -||u||.||v||<u.v<||u||.||v||
2)| ||u||-||v|| |<||u-v||
Merci d'avance
Produit scalaire
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Emmanuel
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sos-math(21)
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Re: Produit scalaire
Bonjour,
tu sais que le produit scalaire de deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow {v}\) est égal à \(\overrightarrow {u}\cdot \overrightarrow {v}=\left\| \overrightarrow {u}\right\| \cdot \left\| \overrightarrow {v}\right\| \cos \theta\) où \(\left\| \overrightarrow {u}\right\|\) désigne la norme du vecteur \( \overrightarrow {u}\), \(\left\| \overrightarrow {v}\right\|\) la norme du vecteur \( \overrightarrow {v}\) et \(\theta\) est la mesure de l’angle formé entre les directions des deux vecteurs.
Or pour tout réel \(\theta\), \(-1\leqslant \cos(\theta)\leqslant 1\).
Donc en multipliant cette inégalité par \(\left\| \overrightarrow {u}\right\| \cdot \left\| \overrightarrow {v}\right\|\) qui est positif, on a :
\(-\left\| \overrightarrow {u}\right\| \cdot \left\| \overrightarrow {v}\right\|\leqslant \left\| \overrightarrow {u}\right\| \cdot \left\| \overrightarrow {v}\right\|\cos(\theta)\leqslant \left\| \overrightarrow {u}\right\| \cdot \left\| \overrightarrow {v}\right\|\) et tu retrouves au milieu l'expression du produit scalaire \(\overrightarrow {u}\cdot \overrightarrow {v}\), d'où la première inégalité.
Pour la deuxième, tu pars de l'inégalité triangulaire :
\(\left\| \overrightarrow {u}\right\|=\left\|\overrightarrow {u}-\overrightarrow {v}+\overrightarrow {v}\right\|\leqslant\left\|\overrightarrow {u}-\overrightarrow {v}\right\|+\left\|\overrightarrow {v}\right\|\) soit en passant \(\left\|\overrightarrow {v}\right\|\) de l'autre côté, on a :
\(\left\| \overrightarrow {u}\right\|-\left\| \overrightarrow {v}\right\|\leqslant \left\|\overrightarrow {u}-\overrightarrow {v}\right\|\).
Donc en reprenant le même type de raisonnement mais en partant de \(\left\|\overrightarrow{v}\right\|\), je te laisse le faire et tu devras trouver :
\(\left\| \overrightarrow {v}\right\|-\left\| \overrightarrow {u}\right\|\leqslant \left\|\overrightarrow {v}-\overrightarrow {u}\right\|\).
Or \(\left\|\overrightarrow {v}-\overrightarrow {u}\right\|=\left\|\overrightarrow {u}-\overrightarrow {v}\right\|\)
On a donc \(\left\|\overrightarrow {u}-\overrightarrow {v}\right\|\) qui est supérieur ou égal à \(\left\| \overrightarrow {u}\right\|-\left\| \overrightarrow {v}\right\|\) et à son opposé \(\left\| \overrightarrow {v}\right\|-\left\| \overrightarrow {u}\right\|\) donc il est supérieur ou égal à sa valeur absolue. Et la deuxième inégalité est démontrée.
Bonne continuation
tu sais que le produit scalaire de deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow {v}\) est égal à \(\overrightarrow {u}\cdot \overrightarrow {v}=\left\| \overrightarrow {u}\right\| \cdot \left\| \overrightarrow {v}\right\| \cos \theta\) où \(\left\| \overrightarrow {u}\right\|\) désigne la norme du vecteur \( \overrightarrow {u}\), \(\left\| \overrightarrow {v}\right\|\) la norme du vecteur \( \overrightarrow {v}\) et \(\theta\) est la mesure de l’angle formé entre les directions des deux vecteurs.
Or pour tout réel \(\theta\), \(-1\leqslant \cos(\theta)\leqslant 1\).
Donc en multipliant cette inégalité par \(\left\| \overrightarrow {u}\right\| \cdot \left\| \overrightarrow {v}\right\|\) qui est positif, on a :
\(-\left\| \overrightarrow {u}\right\| \cdot \left\| \overrightarrow {v}\right\|\leqslant \left\| \overrightarrow {u}\right\| \cdot \left\| \overrightarrow {v}\right\|\cos(\theta)\leqslant \left\| \overrightarrow {u}\right\| \cdot \left\| \overrightarrow {v}\right\|\) et tu retrouves au milieu l'expression du produit scalaire \(\overrightarrow {u}\cdot \overrightarrow {v}\), d'où la première inégalité.
Pour la deuxième, tu pars de l'inégalité triangulaire :
\(\left\| \overrightarrow {u}\right\|=\left\|\overrightarrow {u}-\overrightarrow {v}+\overrightarrow {v}\right\|\leqslant\left\|\overrightarrow {u}-\overrightarrow {v}\right\|+\left\|\overrightarrow {v}\right\|\) soit en passant \(\left\|\overrightarrow {v}\right\|\) de l'autre côté, on a :
\(\left\| \overrightarrow {u}\right\|-\left\| \overrightarrow {v}\right\|\leqslant \left\|\overrightarrow {u}-\overrightarrow {v}\right\|\).
Donc en reprenant le même type de raisonnement mais en partant de \(\left\|\overrightarrow{v}\right\|\), je te laisse le faire et tu devras trouver :
\(\left\| \overrightarrow {v}\right\|-\left\| \overrightarrow {u}\right\|\leqslant \left\|\overrightarrow {v}-\overrightarrow {u}\right\|\).
Or \(\left\|\overrightarrow {v}-\overrightarrow {u}\right\|=\left\|\overrightarrow {u}-\overrightarrow {v}\right\|\)
On a donc \(\left\|\overrightarrow {u}-\overrightarrow {v}\right\|\) qui est supérieur ou égal à \(\left\| \overrightarrow {u}\right\|-\left\| \overrightarrow {v}\right\|\) et à son opposé \(\left\| \overrightarrow {v}\right\|-\left\| \overrightarrow {u}\right\|\) donc il est supérieur ou égal à sa valeur absolue. Et la deuxième inégalité est démontrée.
Bonne continuation