Bonsoir.
Je souhaiterais un coup de pouce pour trouver le signe de 2cos²(x)-cos²(2x) sur l'intervalle [0; πsur 2].
Merci pour votre attention.
Cordialement.
Fonction
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SoS-Math(33)
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- Enregistré le : ven. 25 nov. 2016 14:24
Re: Fonction
Bonjour Fredy,
tu peux utiliser la formule \(cos(2x)=2cos^2(x)-1\) pour obtenir que des termes en \(cos(2x)\) et \(cos^2(2x)\) ce qui te permettra de faire un changement de variable et d'aboutir à une équation du second degré.
\(2cos^2(x)-cos^2(2x)=cos(2x)+1-cos^2(2x)=-cos^2(2x)+cos(2x)+1\)
Je te laisse faire le changement de variable et poursuivre les calculs.
SoS-math
tu peux utiliser la formule \(cos(2x)=2cos^2(x)-1\) pour obtenir que des termes en \(cos(2x)\) et \(cos^2(2x)\) ce qui te permettra de faire un changement de variable et d'aboutir à une équation du second degré.
\(2cos^2(x)-cos^2(2x)=cos(2x)+1-cos^2(2x)=-cos^2(2x)+cos(2x)+1\)
Je te laisse faire le changement de variable et poursuivre les calculs.
SoS-math
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Fredy
Re: Fonction
Ah oui oui. Merci beaucoup, je n'y avais pas pensé. Merci infiniment
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SoS-Math(33)
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- Enregistré le : ven. 25 nov. 2016 14:24
Re: Fonction
Tu peux venir vérifier ton résultat quand tu as fini.
Bonne continuation
SoS-math
Bonne continuation
SoS-math
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Fredy
Re: Fonction
Je suis de nouveau là.
J'ai bien compris votre transformation. Mais en posant cos(2x)= X j'obtiens -X² + X +1=0. Et le discriminant me donne ∆=5.
Alors je retrouve cos(2x)= (1- √5)/2 ou (1+√5)/2. Et là je suis bloqué.
J'ai bien compris votre transformation. Mais en posant cos(2x)= X j'obtiens -X² + X +1=0. Et le discriminant me donne ∆=5.
Alors je retrouve cos(2x)= (1- √5)/2 ou (1+√5)/2. Et là je suis bloqué.
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sos-math(21)
- Messages : 10353
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Fonction
Bonjour,
C'est un peu compliqué pour un niveau première.
Ta première racine \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) est supérieure à 1 donc il n'y a pas de valeur possible pour le cosinus.
En revanche, pour \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\), tu peux obtenir des solutions.
L'équation \(\cos(2x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\) a deux solutions sur \([-\pi\,;\, \pi]\) : \(2x_1=\arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\), et \(2x_1=-\arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\).
Donc dans l'intervalle \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\), il n'y a qu'une intersection : \(x_1=\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\approx 1,12\). Donc la fonction change de signe à cette valeur. Pour retrouver le signe sur cet intervalle, sans rentrer dans des considérations trop avancées, tu peux te contenter de regarder l'image de 0 : \(f(0)=1\) donc la fonction est positive avant la racine et négative après.
Dans quel contexte te pose-t-on cette question (qui est loin d'être évidente) ?
Bonne continuation
C'est un peu compliqué pour un niveau première.
Ta première racine \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) est supérieure à 1 donc il n'y a pas de valeur possible pour le cosinus.
En revanche, pour \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\), tu peux obtenir des solutions.
L'équation \(\cos(2x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\) a deux solutions sur \([-\pi\,;\, \pi]\) : \(2x_1=\arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\), et \(2x_1=-\arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\).
Donc dans l'intervalle \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\), il n'y a qu'une intersection : \(x_1=\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\approx 1,12\). Donc la fonction change de signe à cette valeur. Pour retrouver le signe sur cet intervalle, sans rentrer dans des considérations trop avancées, tu peux te contenter de regarder l'image de 0 : \(f(0)=1\) donc la fonction est positive avant la racine et négative après.
Dans quel contexte te pose-t-on cette question (qui est loin d'être évidente) ?
Bonne continuation
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Fredy
Re: Fonction
Bonjour prof.
Toutes mes excuses pour le retard. En fait j'ai obtenu cette équation en voulant étudier le signe de la dérivée de la fonction f(x)= tan(2x) - tan(x). Là j'ai trouvé f'(x)= 2/cos²(2x) - 1/cos²(x) ce qui m'a donné en réduisant au même dénominateur f'(x)= [2cos²(x) - cos²(2x)] / cos²(2x).cos²(x).
Merci
Toutes mes excuses pour le retard. En fait j'ai obtenu cette équation en voulant étudier le signe de la dérivée de la fonction f(x)= tan(2x) - tan(x). Là j'ai trouvé f'(x)= 2/cos²(2x) - 1/cos²(x) ce qui m'a donné en réduisant au même dénominateur f'(x)= [2cos²(x) - cos²(2x)] / cos²(2x).cos²(x).
Merci
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sos-math(21)
- Messages : 10353
- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Fonction
Bonjour,
ok, je comprends mieux. Mais c'est un exercice de première ? La dérivée de la fonction tangente n'est pas explicitement au programme...
Tu as vu, cela mène à des considérations d'un niveau élevé pour des premières.
Bonne continuation
ok, je comprends mieux. Mais c'est un exercice de première ? La dérivée de la fonction tangente n'est pas explicitement au programme...
Tu as vu, cela mène à des considérations d'un niveau élevé pour des premières.
Bonne continuation