Bonjour à tous j'ai un exercice que je ne comprend pas Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD (où AB = a, a > 0).
On note θ l'angle (vect(AI), vect(AJ)).
Avec l'expression trigonométrique du produit scalaire, donner une valeur exacte de cos θ, puis une valeur approchée de θ en degré à 0,1° près.
Produit scalaire
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Jean
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SoS-Math(33)
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Re: Produit scalaire
Bonjour Jean,
Il faut calculer le produit scalaire de deux façons.
1) \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=AI \times AJ \times cos(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ})\)
Pour \(AI\) et \(AJ\) il faut utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles \(ABI\) et \(ABJ\)
et
2) \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}).(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DJ})\)
En égalant les deux résultats tu vas trouver l'expression de \(cos(\theta)\)
Je te laisse faire les calculs
SoS-math
Il faut calculer le produit scalaire de deux façons.
1) \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=AI \times AJ \times cos(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ})\)
Pour \(AI\) et \(AJ\) il faut utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles \(ABI\) et \(ABJ\)
et
2) \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}).(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DJ})\)
En égalant les deux résultats tu vas trouver l'expression de \(cos(\theta)\)
Je te laisse faire les calculs
SoS-math
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Jean
Re: Produit scalaire
bonsoir j'ai essayé de faire regarder es ce que c'est ça
.AI.AJ=AI×AJ×COS(AI,AJ)
avec la propriété de Phytagore AI=✓3a/2 =AJ
.AI.AJ=(AB+BI).(AD+DJ)=AB.AD+AB.DJ+BI.AD+BI.DJ=AB.DJ+BI.AD+BI.DJ=AB×DJ+BI×AB+BI×DJ
je voulais que vous regardez si ce que j'ai fait là est correcte
.AI.AJ=AI×AJ×COS(AI,AJ)
avec la propriété de Phytagore AI=✓3a/2 =AJ
.AI.AJ=(AB+BI).(AD+DJ)=AB.AD+AB.DJ+BI.AD+BI.DJ=AB.DJ+BI.AD+BI.DJ=AB×DJ+BI×AB+BI×DJ
je voulais que vous regardez si ce que j'ai fait là est correcte
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SoS-Math(33)
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Re: Produit scalaire
Ce que tu es fait est bien mais il y a des erreurs.
1) \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=AI \times AJ \times cos(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ})\)
Avec le théorème de Pythagore : \(AI^2 = AB^2+BI^2=a^2+(\dfrac{a}{2})^2=a^2+\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{5a^2}{4}\) donc \(AI=AJ=\dfrac{a}{2}\sqrt{5}\)
Ainsi \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=\dfrac{5a^2}{4} \times cos(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ})\)
2) \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}).(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DJ})\)
\(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{DJ}\)
\(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=0+BI \times AD+AB \times DJ+0\)
\(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=\dfrac{a}{2} \times a+\dfrac{a}{2} \times a = a^2\)
En égalant les deux résultats tu vas trouver l'expression de \(cos(\theta)\)
Je te laisse finir les calculs
SoS-math
1) \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=AI \times AJ \times cos(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ})\)
Avec le théorème de Pythagore : \(AI^2 = AB^2+BI^2=a^2+(\dfrac{a}{2})^2=a^2+\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{5a^2}{4}\) donc \(AI=AJ=\dfrac{a}{2}\sqrt{5}\)
Ainsi \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=\dfrac{5a^2}{4} \times cos(\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ})\)
2) \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}).(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DJ})\)
\(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{DJ}\)
\(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=0+BI \times AD+AB \times DJ+0\)
\(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=\dfrac{a}{2} \times a+\dfrac{a}{2} \times a = a^2\)
En égalant les deux résultats tu vas trouver l'expression de \(cos(\theta)\)
Je te laisse finir les calculs
SoS-math
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Jean
Re: Produit scalaire
Oui vous avez raison je voit mes erreurs maintenant merci à vous je vais continuer et si j'ai un problème je vous fait signe merci encore pour tout
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SoS-Math(33)
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Re: Produit scalaire
Bonne continuation dans ton exercice et oui n'hésite pas à revenir si besoin.
SoS-math
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Jean
Re: Produit scalaire
Bonsoir
Je comprends pas comment le produit scalaire BI.DJ=0
Je comprends pas comment le produit scalaire BI.DJ=0
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sos-math(21)
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- Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15
Re: Produit scalaire
Bonjour,
\(I\) est le milieu du côté \([CD]\), \(J\) est le milieu de \([BC]\).
Or ces deux côtés sont perpendiculaires donc les vecteurs \(\overrightarrow{BI}\) (direction \((BC)\)) et \(\overrightarrow{DJ}\) (direction \((CD)\)) sont orthogonaux : leur produit scalaire est donc nul.
Bonne continuation
\(I\) est le milieu du côté \([CD]\), \(J\) est le milieu de \([BC]\).
Or ces deux côtés sont perpendiculaires donc les vecteurs \(\overrightarrow{BI}\) (direction \((BC)\)) et \(\overrightarrow{DJ}\) (direction \((CD)\)) sont orthogonaux : leur produit scalaire est donc nul.
Bonne continuation