Produit scalaire

[Serme]

Bonjour j'ai un exercice que je comprends pas bien Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A.
Soit I le point de [AB] tel que AI = AB/3 ;
J le point de [AC] tel que AJ = AC/3 ; et K le milieu de [IC].

Démontrer que les droites (AK) et (JB) sont perpendiculaires.

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu peux commencer par écrire que \(\overrightarrow{AK}=0,5\overrightarrow{AC}+0,5\overrightarrow{AI}\) (règle du parallélogramme ).
Comment trouver cette propriété ? Tu peux partir de \(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{KI}=\overrightarrow{0}\) car \(K\) est le milieu de \([IC]\).
Puis tu insères le point \(A\) par la relation de Chasles : \(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{0}\) tu réduis et tu passes dans l'autre membre :
\(2\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AI}\), puis tu divises par 2.
Une fois cela fait, tu calcules le produit scalaire :
\(\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{JB}=(0,5\overrightarrow{AC}+0,5\overrightarrow{AI}).(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})\)
Tu distribues, il y a des produits scalaires qui valent 0, car tu as des vecteurs orthogonaux et les produits scalaires qui restent seront opposés, ce qui donnera bien 0.
Je te laisse faire ce calcul.
Bonne continuation

[Serme]

Moi j'avais commencé à décomposer les vecteurs AK et JB avec la relation de Chasles voilà ce que ça a donné AK=AI+IK et JB=JA+AB mais arrivé là je suis bloqué

[sos-math(21)]

Effectivement, si tu gardes \(\overrightarrow{IK}\), tu n'aboutiras à rien.
Il faut que tu décomposes selon des vecteurs orthogonaux, portés par les droites \((AB)\) et \((AC)\), comme je te le suggère.
Bonne continuation

[Serme]

J'ai développé le produit scalaire AK.JB
J
AK.JB=(0,5AC+0,5AI).(JA+AB)=1/2AC.JA+1/2AC.AB+1/2AI.JA+1/2AI.AB=1/2AC.JA+1/2AI.AB

[Serme]

Je comprends pas comment les produits scalaire AC.JA et AI.AB sont opposés

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour le calcul du produit scalaire, c'est bon
ton triangle est rectangle isocèle donc \(AC=AB\).
Tes deux points \(I\) et \(J\) sont au tiers de \([AB]\) et \([AC]\) donc \(AI=\dfrac{1}{3}AB\) et \(AJ=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{1}{3}AB\).
On a donc \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{JA}=\dfrac{1}{2}\times (-1)\times AB\times\dfrac{1}{3}AB=-\dfrac{1}{6}AB^2\)
car les deux vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{JA}\) sont opposés.
Je te laisse calculer de la même manière \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\)
Bonne conclusion

[Serme]

Merci infiniment pour votre réponse j'ai compris maintenant

[sos-math(21)]

Très bien, je te laisse rédiger ta solution maintenant.
Bonne continuation