Suites numériques

[Darius]

Bonsoir.
S'il vous plaît j'ai un exo sur les suites que je n'arrive pas à démarrer:
Exo : soit (Un) défini pour tout n élément de N par Un=2cosa et Un+1=√(2+Un) avec 0≤a≤π. On demande de montrer que Un=2cos(a sur 2 puissance n)
Merci.

[sos-math(21)]

Bonjour,
es-tu en classe de première ou de terminale ?
En terminale, il faudrait utiliser une récurrence, en utilisant la formule de trigonométrie \(1+\cos(a)=2\cos^{2}\left(\dfrac{a}{2}\right)\).
Essaie déjà de voir comment on peut obtenir cette formule à partir de formules de trigonométrie de base, puis essaie de prouver par récurrence la propriété \(P_n\) : pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n}=2\cos\left(\dfrac{a}{2^n}\right)\).
Au rang 0 : c'est bon, simple vérification.
Si tu supposes ta propriété vraie pour un entier naturel \(n\), alors sachant que \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\), on a \(u_{n+1}^2=2+u_n\).
En utilisant la propriété de récurrence, tu as \(u_{n+1}^2=2+2\cos\left(\dfrac{a}{2^n}\right)=2\left(1+\cos\left(\dfrac{a}{2^n}\right)\right)\)
Et tu pourras appliquer la formule de trigonométrie juste au-dessus.
Cela devrait être plus aisé de conclure.
Bonne rédaction

[SoS-Math(33)]

Bonjour Darius,
Tu es sur de ton énoncé?, ce serait pas plutôt \(U_0 = 2cos(a)\).
Il faut utiliser \(1+cos(2a) = 2cos^2(a)\) et un raisonnement par récurrence.
Je te laisse vérifier que la propriété d’hérédité est vraie pour \(U_0\) et \(U_1\)

Hérédité \(U_n=2cos(\dfrac{a}{2^n})\)
\(U_{n+1}= \sqrt{2+U_n}\)
\(U_{n+1}= \sqrt{2+2cos(\dfrac{a}{2^n})}\)
\(U_{n+1}= \sqrt{2(1+cos(\dfrac{a}{2^n}))}\)
Or
\(1+cos(\dfrac{a}{2^n})=2cos^2(\dfrac{\dfrac{a}{2^n}}{2})\)
\(1+cos(\dfrac{a}{2^n})=2cos^2({\dfrac{a}{2^{n+1}}})\)
Ainsi
\(U_{n+1}= \sqrt{4cos^2({\dfrac{a}{2^{n+1}}})}\)
Or \(a\in [0;\pi]\) donc \(\dfrac{a}{2^{n+1}} \leq \dfrac{\pi}{2}\) donc \(cos({\dfrac{a}{2^{n+1}}}) \ge 0\)
\(U_{n+1}= 2cos({\dfrac{a}{2^{n+1}}})\)
Est ce plus clair pour toi?
SoS-math

[Darius]

Bonjour
En effet c'est U0=2cos(a).
Merci beaucoup pour votre aide. J'ai bien compris la démarche et j'ai pu continuer mon exercice.
Grand merci. Cordialement.

[SoS-Math(33)]

Bonne continuation
A bientôt sur le forum
SoS-math