Produits scalaire

[Manellapaille]

Bonjour j'ai un exo en 1 er spé math sur le produit scalaire je n'y arrive pas.

ABCD est un carré de côté a I est le milieu de [DA] et J est le milieu de [DC]. On pose IBJ=0

Calculer BI.BJ de deux façons, en déduire la valeur exacte de cos (0), puis une valeur approchée de 0 à 1° près.

J'ai commencé j'ai calculé avec Pythagore BI et BJ ils valent √5 a/2
Mais je ne suis pas sur pour la suite pouvez vous m'aider ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
j'imagine que tu as fait une figure pour te représenter la situation (ou peut-être est-elle donnée dans l'énoncé).
Tu peux déjà utiliser une première utilisation du produit scalaire avec le cosinus de l'angle \(\widehat{IBJ}\) :
\(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}=BI\times BJ\times \cos(\widehat{IBJ})\).
\(BI\) et \(BJ\) sont égales car ce sont les longueurs des hypoténuses de deux triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit valent \(a\) et \(\dfrac{a}{2}\). On a donc \(BI\times BJ=BI^2=BA^2+AI^2=a^2+\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{5a^2}{4}\) d'après le théorème de Pythagore.
Par ailleurs, tu peux calculer ton produit scalaire en le décomposant (grâce à la relation de Chasles) sur les côtés du carré :
\(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}).(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ})\)
Je te laisse développer ce "double" produit scalaire, il y aura des simplifications qui vont de permettre d'obtenir une autre expression pour le produit scalaire. Tu pourras alors en déduire une valeur pour \(\cos(\widehat{IBJ})\), puis une mesure de cet angle : tu devrais trouver environ 36,87°.
Bon calcul.

[Manel]

Re bonjour pouvez vous me dire si cela est juste au vu de votre aide merci
Bi.Bj = (BA+AI).(BC+CJ)
= BA.BC + BA.CJ+AI.BC+AI.CJ
= 0 + BA x CJ+ AI x BC + AIxCJ
= a x a/2 + a/2 x a + a/2 x a/2
= a²/2 + a²/2 + a²/4
= 2a²/2 + a²/4

Est ce que c'est cela ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
c'est la bonne démarche mais il y a une erreur dans un produit scalaire :
On a bien \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\) car les droites sont perpendiculaires, on a bien \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{a^2}{2}\), mais \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{CJ}=0\) car ces deux vecteurs sont portés par des droites perpendiculaires.
Au final, il reste \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BJ}=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^2}{2}=a^2\).
Je te laisse conclure.
Bonne continuation

[Manel]

Encore une fois merci mais j'ai encore besoins d'aide est ce cela ?
Bi.bj = a²

Donc 5a²/4 cos(k) = a²
5/4 cos(k)
Cos(k) = -5/4
Donc k= cos-¹ (-5/4)
k = 88.75°

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
il y a une erreur dans ta résolution, tu aurais du le constater quand tu as calculer la valeur de l'angle, car la valeur du cosinus doit être comprise entre \(-1\) et \(1\) :
\(\dfrac{5a^2}{4} cos \widehat{IBJ} = a^2\)
\(\dfrac{5}{4} cos \widehat{IBJ} = 1\)
\( cos \widehat{IBJ} = \dfrac{4}{5}\)
Je te laisse déterminer la valeur de l'angle.
SoS-math

[Manel]

D'accord un grand merci pour votre aide vraiment ce forum est génial
Pour finir l'angle vaut 36°

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as la bonne réponse (36,87°), c'est ce que je t'avais indiqué dans un de mes précédents messages.
Bonne continuation

[SoS-Math(33)]

Pour l'angle, la valeur approchée au degré près est 37° puisque tu obtiens 36,8...
Bonne continuation
SoS-math