SOS-MATH

Bonjour professeur.
S'il vous plaît j'ai aucune idée de cet exercice que j'ai trouvé sur un devoir. Pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?
Soit f défini de R vers R tel que pour tout x et y éléments de R: | f(x)-f(y)|≤| sin(x) - sin(y)|
a) montrer que f est 2π- périodique
b) montrer que f est continue sur R.
c) montrer que f est dérivable en π/2 et calculer f'(π/2).
Merci prof.

Bonjour,
pour le début, il faut se servir de la périodicité de la fonction sinus.
Pour tout réel \(x\),
\(|f(x+2\pi)-f(x)|\leqslant|\sin(x+2\pi)-\sin(x)|\).
Or \(\sin(x+2\pi)=\sin(x)\) par périodicité de la fonction sinus donc le membre de droite vaut 0 et donc le membre de gauche aussi car on a
\(0\leqslant |f(x+2\pi)-f(x)|\leqslant 0\).
Donc \(f(x+2\pi)=f(x)\) pour tout réel \(x\), ce qui justifie bien que la fonction soit périodique de période \(2\pi\).
Pour la continuité, on fixe un réel \(a\), on a alors pour tout réel \(x\) :
\(|f(x)-f(a)|\leqslant |\sin(x)-\sin(a)|\).
Lorsque \(x\to a\), par continuité de la fonction sinus, on a \(\lim_{x\to a}\sin(x)-\sin(a)=0\) donc en passant à la limite dans l'inégalité, on obtient encore \(\lim_{x\to a}|f(x)-f(a)|=0\) ce qui prouve que \(lim_{x\to a} f(x)=f(a)\) et établit bien la continuité de \(f\) en \(a\).
Pour la dérivabilité c'est la même chose mais avec \(\left|\frac{f(x)-f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}{x-\dfrac{\pi}{2}}\right|\leqslant \left|\frac{\sin(x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}{x-\dfrac{\pi}{2}}\right|\) pour \(x\neq \dfrac{\pi}{2}\)
En faisant tendre \(x\) vers \(\dfrac{\pi}{2}\), le membre de droite tend vers \(\sin'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\)
Cela prouve encore une fois que le taux d'accroissement a une limite et que celle-ci vaut 0 donc la fonction \(f\) est dérivable en \(\dfrac{\pi}{2}\) et que sa dérivée vaut 0 en \(\dfrac{\pi}{2}\) : \(f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\)
Cet exercice me paraît difficile pour un niveau première....
Bonne continuation

Bonjour prof.
Assurément je n'aurai vraiment pas pu le démarrer. Mais votre explication est claire et bien détaillée. J'ai bien compris et je vous en remercie grandement. Soyez richement béni.
Merci.

Bonjour,
merci pour ton retour mais je m'interroge tout de même sur ce sujet (difficile et hors programme) pour un élève de première : où l'as-tu trouvé ?
Bonne continuation

Bonsoir à nouveau prof.
Je vous écris depuis le Burkina Faso.

Bonjour,
Les programmes de première sont ils les mêmes qu’en France ?
Quelle définition de la continuité utilises-tu ?
Bonne continuation

sos-math(21) a écrit : ↑

jeu. 20 janv. 2022 22:30

Bonjour,
Les programmes de première sont ils les mêmes qu’en France ?
Quelle définition de la continuité utilises-tu ?
Bonne continuation

A Burkina Faso, on utlise la définition mathématique de la continuité pas celle de la France.
Même si les programmes se ressemblent, le niveau ici est plus élevé

Bonjour,
quand tu dis définition mathématique de la continuité tu parles bien de celle-ci :
\(f\) est continue en \(a \in I\Longleftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists \eta >0, \forall x\in I, (|x-a|<\eta \Longrightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)\).
C'est vrai que dans ce cas-là, on est bien au-dessus du niveau première général français.
Bonne continuation