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par sos-math(21) » sam. 15 janv. 2022 15:54
Bonjour,
si tu notes \(x\), l'abscisse du point \(B\), alors ce point a pour coordonnées \((x\,;\,x^2)\) car le point \(B\) appartient à la courbe de la fonction carré.
L'identité de Pythagore te permet de dire que le triangle \(OAB\) est rectangle si et seulement si \(OA^2+AB^2=OB^2\).
soit, en appliquant la formule de la distance vue en classe : \((x-2)^2+(x^2-4)^2+2^2+4^2=x^2+(x^2)^2\).
En développant et en simplifiant on arrive à \(8x^2+4x-40=0\). On est d'accord ?
La suite est un peu délicate mais on peut s'en sortir en seconde en commençant par factoriser par le coefficient de \(x^2\) :
\(8(x^2+0,5x)-40=0\)
Ensuite tu reconnais le début d'une identité remarquable de la forme \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) : \(0,5x\) devant jouer le rôle de double produit, le deuxième terme devra être \(0,25=\dfrac{1}{4}\).
On va donc écrire la forme \(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2\) sauf que celle-ci produit le carré de \(\dfrac{1}{4}\) qu'il faut donc soustraire à \(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2\) pour que cela reste égal à \(x^2+0,5x= \left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{1}{16}\)
Si on remet cette écriture dans l'équation de départ celle-ci devient :
\(8\left(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{1}{16}\right)-40=0\), ce qui donne en développant : \(8\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{1}{2}-40=0\).
En calculant et en passant les termes numériques dans le membre de droite, on a :
\(8\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{81}{2}\), soit \(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{81}{16}\).
Ensuite, il te reste à appliquer la règle que tu as vue en cours : l'équation \(X^2=a\) (avec \(a>0\)), a pour solutions \(X=-\sqrt{a}\) et \(X=\sqrt{a}\).
Je te laisse conclure.
Bonne continuation
