Géométrie et repérage dans le plan
Géométrie et repérage dans le plan
Bonjour,
J'ai un dm de maths à faire, mais après avoir prouvé que ABO est effectivement rectangle en A, je reste bloqué sur la question. Sachant que je suis en seconde et que je ne sais pas utiliser les équations du second degré qu'on m'a déjà conseillé d'appliquer, j'espère que quelqu'un pourra me mettre sur la voie.
Merci
J'ai un dm de maths à faire, mais après avoir prouvé que ABO est effectivement rectangle en A, je reste bloqué sur la question. Sachant que je suis en seconde et que je ne sais pas utiliser les équations du second degré qu'on m'a déjà conseillé d'appliquer, j'espère que quelqu'un pourra me mettre sur la voie.
Merci
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Re: Géométrie et repérage dans le plan
Bonjour,
si tu notes \(x\), l'abscisse du point \(B\), alors ce point a pour coordonnées \((x\,;\,x^2)\) car le point \(B\) appartient à la courbe de la fonction carré.
L'identité de Pythagore te permet de dire que le triangle \(OAB\) est rectangle si et seulement si \(OA^2+AB^2=OB^2\).
soit, en appliquant la formule de la distance vue en classe : \((x-2)^2+(x^2-4)^2+2^2+4^2=x^2+(x^2)^2\).
En développant et en simplifiant on arrive à \(8x^2+4x-40=0\). On est d'accord ?
La suite est un peu délicate mais on peut s'en sortir en seconde en commençant par factoriser par le coefficient de \(x^2\) :
\(8(x^2+0,5x)-40=0\)
Ensuite tu reconnais le début d'une identité remarquable de la forme \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) : \(0,5x\) devant jouer le rôle de double produit, le deuxième terme devra être \(0,25=\dfrac{1}{4}\).
On va donc écrire la forme \(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2\) sauf que celle-ci produit le carré de \(\dfrac{1}{4}\) qu'il faut donc soustraire à \(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2\) pour que cela reste égal à \(x^2+0,5x= \left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{1}{16}\)
Si on remet cette écriture dans l'équation de départ celle-ci devient :
\(8\left(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{1}{16}\right)-40=0\), ce qui donne en développant : \(8\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{1}{2}-40=0\).
En calculant et en passant les termes numériques dans le membre de droite, on a :
\(8\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{81}{2}\), soit \(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{81}{16}\).
Ensuite, il te reste à appliquer la règle que tu as vue en cours : l'équation \(X^2=a\) (avec \(a>0\)), a pour solutions \(X=-\sqrt{a}\) et \(X=\sqrt{a}\).
Je te laisse conclure.
Bonne continuation
si tu notes \(x\), l'abscisse du point \(B\), alors ce point a pour coordonnées \((x\,;\,x^2)\) car le point \(B\) appartient à la courbe de la fonction carré.
L'identité de Pythagore te permet de dire que le triangle \(OAB\) est rectangle si et seulement si \(OA^2+AB^2=OB^2\).
soit, en appliquant la formule de la distance vue en classe : \((x-2)^2+(x^2-4)^2+2^2+4^2=x^2+(x^2)^2\).
En développant et en simplifiant on arrive à \(8x^2+4x-40=0\). On est d'accord ?
La suite est un peu délicate mais on peut s'en sortir en seconde en commençant par factoriser par le coefficient de \(x^2\) :
\(8(x^2+0,5x)-40=0\)
Ensuite tu reconnais le début d'une identité remarquable de la forme \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) : \(0,5x\) devant jouer le rôle de double produit, le deuxième terme devra être \(0,25=\dfrac{1}{4}\).
On va donc écrire la forme \(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2\) sauf que celle-ci produit le carré de \(\dfrac{1}{4}\) qu'il faut donc soustraire à \(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2\) pour que cela reste égal à \(x^2+0,5x= \left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{1}{16}\)
Si on remet cette écriture dans l'équation de départ celle-ci devient :
\(8\left(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{1}{16}\right)-40=0\), ce qui donne en développant : \(8\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{1}{2}-40=0\).
En calculant et en passant les termes numériques dans le membre de droite, on a :
\(8\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{81}{2}\), soit \(\left(x+\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{81}{16}\).
Ensuite, il te reste à appliquer la règle que tu as vue en cours : l'équation \(X^2=a\) (avec \(a>0\)), a pour solutions \(X=-\sqrt{a}\) et \(X=\sqrt{a}\).
Je te laisse conclure.
Bonne continuation
Re: Géométrie et repérage dans le plan
Ok je pense avoir compris, merci beaucoup de votre aide, en espérant avoir une bonne note grâce à vous, merci
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Re: Géométrie et repérage dans le plan
Bonjour,
ce n'est pas une démarche facile pour le niveau seconde mais si tu suis bien les étapes, tu dois pouvoir y arriver.
À la fin tu dois trouver deux solutions : \(-2,5\) et \(2\).
La seule solution qui aura du sens dans ton exercice sera \(-2,5\).
Tu peux ensuite vérifier tes calculs en calculant \(OB^2, AB^2\) avec \(B(-2,5\,;\,6,25)\).
Bonne vérification
ce n'est pas une démarche facile pour le niveau seconde mais si tu suis bien les étapes, tu dois pouvoir y arriver.
À la fin tu dois trouver deux solutions : \(-2,5\) et \(2\).
La seule solution qui aura du sens dans ton exercice sera \(-2,5\).
Tu peux ensuite vérifier tes calculs en calculant \(OB^2, AB^2\) avec \(B(-2,5\,;\,6,25)\).
Bonne vérification