Approximations affines
Posté : sam. 8 janv. 2022 18:38
Soit f (x)=√x et on pose x=h+1. Pour |x|<1 montrer que |√(1+h) - (1+h/2)|< h²/2 où 1+h/2 est une approximation affine de f au voisinage de 0.
SOS Math est un forum de mathématiques où des professeurs de l'académie de Poitiers répondent aux questions que leur soumettent des élèves. Il est inutile de s'enregistrer pour bénéficier de cette aide gratuite en maths.
https://sosmath.ac-poitiers.fr/
Pourquoi h>0 ?sos-math(21) a écrit : ↑sam. 8 janv. 2022 19:33Bonjour,
sur ce forum, la politesse est de rigueur : un premier message commence par "bonjour" et se termine par "merci".
D'autre part, nous répondons à des questions d'élèves ayant cherché au préalable leurs exercices.
Je vous invite donc à reformuler votre message et à préciser où est votre difficulté.
Pour ce qui est de votre demande, je vous conseille de multiplier par la quantité conjuguée :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{\left[\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]\left[\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{1+h}^2-\left(1+\frac{h}{2}\right)^2}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
Ce qui donne :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{1+h-h-1-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
sachant que \(h>0\), tu dois pouvoir minorer le dénominateur par 2 pour majorer la valeur absolue de la fraction par \(\dfrac{h^2}{8}\)
Je te laisse terminer
Par contre, j'ai pas compris pourquoi x>=-1.?sos-math(21) a écrit : ↑sam. 8 janv. 2022 21:22Bonjour,
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que \(h>0\) : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de \(x\geqslant -1\) donc \(x+1\geqslant 0\) donc par croissance de la fonction racine carrée, on a \(\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}\) soit \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)
De même, en partant de \(x\geqslant -1\), on a \(1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
En faisant la somme, on a \(\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
Donc en prenant l'inverse, on a \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}\) donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2\)
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul
D'accord merci.sos-math(21) a écrit : ↑ven. 14 janv. 2022 13:27Bonjour,
comme on te dit que \(|x|<1\), cela signifie que \(-1<x<1\), donc \(x>-1\).
En partant de cette inégalité, cela permet de minorer le dénominateur pour majorer le quotient.
Bonne continuation
donc en reprenant l'inégalité :Bonjour,
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que \(h>0\) : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de \(x\geqslant -1\) donc \(x+1\geqslant 0\) donc par croissance de la fonction racine carrée, on a \(\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}\) soit \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)
De même, en partant de \(x\geqslant -1\), on a \(1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
En faisant la somme, on a \(\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
Donc en prenant l'inverse, on a \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}\) donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2\)
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul