Suite de nombre

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David

Suite de nombre

Message par David » sam. 6 nov. 2021 22:43

Bonjour,
J'ai un DM de math qui me perturbe un peu.
En voici l'énoncé :
Quatres figures fournissent les quatre premiers nombres octogonaux
1, 8, 21 et 40 : chaque nombre octogonal est le nombre de points dans la figure
correspondante. Quel est le 10ème nombre octogonal ?
Nous devons donc trouver une formule pour le terme général et aussi le 10eme terme de cette suite.

Merci d'avance pour votre aide.
sos-math(21)
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Re: Suite de nombre

Message par sos-math(21) » dim. 7 nov. 2021 08:45

Bonjour,
la suite des nombres octogonaux est une suite classique que l'on peut trouver sur le web.
Je te conseille d'aller voir la page : https://oeis.org/A000567
Ainsi qu'un document qui généralise le calcul des suites nombres polygonaux : https://www.amq.math.ca/ancien/bulletins/oct06/Nombrespolygonaux.pdf
ou encore cet article : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA08094.pdf
Pour comprendre le mécanisme de récurrence, tu peux regarder ce qu'on ajoute d'un terme de la suite au suivant : +7, +13, +19, +25... On remarque que l'on augmente de 6 le nombre à ajouter à chaque rang. Donc pour celui d'après on ajoutera 25+6=31 au terme 65, et on aura 96.
Pour une formule explicite, on a, en partant de \(a_0=0\) le terme de rang \(n\) qui est donné par \(a_n=n\times(3n-2)\).
Bonne continuation
David

Re: Suite de nombre

Message par David » dim. 7 nov. 2021 13:42

Bonjour,
Merci pour votre réponse mais je dois aussi démontrer la démarche que j'ai utilisé, je dois donc trouver un raisonnement me permettant d'arriver à la formule An = n × (3n -2)

Et je ne sais pas comment prouver cela
sos-math(21)
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Re: Suite de nombre

Message par sos-math(21) » dim. 7 nov. 2021 14:01

Bonjour,
dans l'article que je t'ai envoyé :
on a une preuve dans le cas général : https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA08094.pdf
nombres_polygonaux.PNG
Il te suffit de t'en inspirer en prenant \(k=8\) et de faire des sommes télescopiques.
En partant de \(a_0=0\), on a \(a_{n+1}=a_n+6n+1\), d'après ce que j'ai déjà dit.
On a donc pour tout entier \(n\) \(a_{n+1}-a_n=6n+1\), en écrivant ces inégalités en cascade :
au rang n-1 : \(a_n-a_{n-1}=6(n-1)+1\)
au rang n-2 : \(a_{n-1}-a_{n-2}=6(n-2)+1\)
...
au rang 1 : \(a_1-a_0=6\times 0 + 1\)
Tu fais la somme de ces inégalités, il y a des termes qui se simplifient deux à deux.
Je ne vois pas d'autre moyen simple pour le niveau première.
Bonne continuation
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