Formules de bayes

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Marko

Formules de bayes

Message par Marko » ven. 28 mai 2021 10:50

Bonjour
Pourriez vous m’aider avec cet exercice je n’y arrive pas trop
Fichiers joints
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sos-math(21)
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Re: Formules de bayes

Message par sos-math(21) » ven. 28 mai 2021 13:34

Bonjour,
les données de l'énoncé te donnent les probabilités conditionnelles suivantes : \(P_{G}(S)=0,95\) et \(P_{\overline{G}}(S)=0,35\).
Ces probabilités se placent sur le deuxième niveau de l'arbre de probabilités et on peut ensuite le compléter, en notant \(P(G)=p\) donc \(P(\overline{G})=1-p\). Tu dois donc avoir :
Fichier_000 (15).png
dans la partie 2, on te demande l'expression de \(P_{S}(\overline{G})\).
Par définition, d'une probabilité conditionnelle, on a \(P_{S}(\overline{G})=\dfrac{P(S\cap \overline{G})}{P(S)}\)
Ces deux probabilités vont se calculer grâce à l'arbre :
  • formule des probabilités composées pour le chemin \(S\cap \overline{G}\) : \(P(S\cap \overline{G})=P(\overline{G})\times P_{\overline{G}}(S)=\ldots\)
  • formule des probabilités totale pour reconstituer la probabilité de \(S\) : \(P(S)=P(S\cap G)+P(S\cap \overline{G})=P({G})\times P_{{G}}(S)+P(\overline{G})\times P_{\overline{G}}(S)=\ldots\)
Tu devrais obtenir l'expression (en fonction de \(p\)) demandée.
Bonne continuation
Marko

Re: Formules de bayes

Message par Marko » ven. 28 mai 2021 20:51

Bonjour
Je dois faire
\(S\cap \overline{G}\) : \(P(S\cap \overline{G})=P(\overline{G})\times P_{\overline{G}}(S) =1-p\times0,35 =1-0,35p\)
\(P(S)=P(S\cap G)+P(S\cap \overline{G})=P({G})\times P_{{G}}(S)+P(\overline{G})\times P_{\overline{G}}(S) =p\times0,95+1-p\times0,35=0,95+1-0,35p =1+0,6p\)
\(P_{S}(\overline{G})=\dfrac{P(S\cap \overline{G})}{P(S)}\ =\frac{1-0,35p}{1+0,6p} =-\frac{5}{3} =-1,67\)
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Re: Formules de bayes

Message par sos-math(21) » ven. 28 mai 2021 21:00

Bonjour,
Attention, il te manque des parenthèses autour de \(1-p\) pour le multiplier par 0,35, ce qui donne \(0,35-0,35p\).
Il faut donc reprendre tes calculs.
Bonne correction
Marko

Re: Formules de bayes

Message par Marko » ven. 28 mai 2021 21:30

Donc
\(S\cap \overline{G}\) : \(P(S\cap \overline{G})=P(\overline{G})\times P_{\overline{G}}(S) =(1-p\times0,35) =0,35-0,35p\)
\(P(S)=P(S\cap G)+P(S\cap \overline{G})=P({G})\times P_{{G}}(S)+P(\overline{G})\times P_{\overline{G}}(S) =(p)\times0,95+(1-p)\times0,35=0,95p+0,35-0,35p =0,6p+0,35\)
\(P_{S}(\overline{G})=\dfrac{P(S\cap \overline{G})}{P(S)}\ =\frac{0,35-0,35p}{0,35+0,6p}\)
Et pour la fin de l’équation je simplifie je n’ai de de nombre entier je trouve toujours une division
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Re: Formules de bayes

Message par sos-math(21) » ven. 28 mai 2021 21:48

Bonjour,
Ton expression est correcte et tu n’auras pas de forme plus simple.
Il s’agira ensuite de remplacer \(p\) par 0,7 pour obtenir la probabilité d’avoir un état grippal (et donc pas la grippe) sachant que les trois symptômes sont observés.
Cette probabilité correspond au risque d’erreur de diagnostic par le médecin.
Il te restera à conclure sur le risque, raisonnable ou non, pris par le médecin.
Bonne conclusion
Marko

Re: Formules de bayes

Message par Marko » ven. 28 mai 2021 23:02

B)Donc si p=0,7
\(P(G)=0,7\)
\(P({\overline{G}})=1-p=1-0,7=0,3\)
\(S\cap \overline{G}\) : \(P(S\cap \overline{G})=P(\overline{G})\times P_{\overline{G}}(S) = 0,3\times0,35=0,105\)
\(P(S)=P(S\cap G)+P(S\cap \overline{G})=P({G})\times P_{{G}}(S)+P(\overline{G})\times P_{\overline{G}}(S) =(0,7\times0,95)+(0,3\times0,35)=0,665+0,105=0,77\)
\(P_{S}(\overline{G})=\dfrac{P(S\cap \overline{G})}{P(S)}\ =\frac{0,105}{0,77}=0,136\)
C)Oui il avait raison car la probabilité du pourcentage que les personnes ayant les trois symptômes et ont eu un étant grippal est très bas 0,136 alors que la probabilité de la grippe est de 0,95
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Re: Formules de bayes

Message par sos-math(21) » sam. 29 mai 2021 07:28

Bonjour,
Tes calculs semblent corrects.
En effet cela donne le risque d’erreur de diagnostic de la part du médecin qui diagnostique une grippe dès qu’il y a les trois symptômes alors que cela peut être un état grippal avec une probabilité de 0,14.
Le risque d’erreur de 14% peut être considéré comme raisonnable.
Bonne continuation
Marko

Re: Formules de bayes

Message par Marko » sam. 29 mai 2021 11:16

Bonjour
Dans cet exercice je dois compléter l’arbre et répondre au autre question mais il n’y a pas de valeur comment je dois faire cela
Fichiers joints
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Re: Formules de bayes

Message par sos-math(21) » sam. 29 mai 2021 11:29

Bonjour,
dans cette partie, il s'agit de généraliser ce que tu as fait dans la partie précédente, qui portait sur un exemple précis.
Il faut donc mettre les notations correspondant aux probabilités et travailler avec ces notations :
Fichier_000 (16).png
Il faut reprendre la démarche de calcul de \(P(B)\) avec la formule des probabilités totales puis le calcul de \(P(A\cap B\) à partir de celles de l'arbre pour obtenir la probabilité conditionnelle "renversée" \(P_B(A)\).
Bon calcul
Marko

Re: Formules de bayes

Message par Marko » sam. 29 mai 2021 13:55

Bonjour
Donc
2)\(P(B)=B\cap A+ B\cap\overline{A}=P_{A}(B)\times P(A)+ P_{\overline{A}}(B)\times P(\overline{A})\)


\(P(A\cap B)=P(A)\times P_{A}(B)\)

\(P_{B}(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\times P_{A}(B)}{P_{A}(B)\times P(A)+ P_{\overline{A}}(B)\times P(\overline{A})}\)
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Re: Formules de bayes

Message par sos-math(21) » sam. 29 mai 2021 15:00

Bonjour,
C’est cela (il manque juste les \(P\) autour des intersections d’évènements dans ton premier calcul).
Je pense que tu as compris le principe.
Bonne continuation
Marko

Re: Formules de bayes

Message par Marko » sam. 29 mai 2021 17:32

Bonjour
Voici l’arbre que j’ai fait pour l’exercice d’application 1
\(P_{M}(T)=0,99\)
\(P_{M}\overline{(T)}=0,01\)
\(P_{\overline{M}}(T)=0,01\)
\(P_{\overline{M}}\overline{(T)}=0,99\)
\(P(M)=x\)
\(P(\overline{M})=1-x\)
Fichiers joints
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Re: Formules de bayes

Message par sos-math(21) » sam. 29 mai 2021 21:00

Bonjour,
Ton arbre me semble correct. Tu peux poursuivre en utilisant la formule de Bayes pour calculer \(P_T(M)\) en fonction de \(x\).
Bonne continuation
Marko

Re: Formules de bayes

Message par Marko » sam. 29 mai 2021 23:38

Bonjour
2)Que ce test n’a l’air pas très viable car la probabilité qu’un bovin ayant la maladie ait un test positif est égale à 99% identique pour la probabilité qu’un bovin sain ait un test négatif le pourcentage de ce test ne peut être aussi élevé sans avoir fait certain erreur.
3)a)\(P(M\cap T)= P(M)\times P_{M}(T) = (x)\times0,99=0,99x\)

\(P(T)=P(M\cap T)\times P(\overline{M} \cap T)= P(M)\times P_{M}(T)+ P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)=(x)\times 0,99 +(1-x)\times 0,01=0,99x+0,01-0,01x\)

\(P_{T}(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{P(M)\times P_{M}(T)}{P(M)\times P_{M}(T)+ P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)} =\frac{0,99x}{0,99x+0,01-0,01x}\)
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