fonction exponentielle

Retrouver tous les sujets résolus.
hervé

fonction exponentielle

Message par hervé » sam. 22 mai 2021 09:31

Bonjour j'ai commencé cet exercice mais je n'arrive pas à dériver la fonction exponentielle pourriez-vous m'aider s'il vous plaît.Merci.
Fichiers joints
Image (328).jpg
Image (327).jpg
Image (326).jpg
sos-math(21)
Messages : 10334
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: fonction exponentielle

Message par sos-math(21) » sam. 22 mai 2021 09:59

Bonjour,
tu as bien posé tes deux fonctions définissant le quotient \(u(x)=\text{e}^{2x}\) et \(v(x)=x+1\).
Il y a une erreur dans la dérivée de \(u\) qui est de la forme \(\text{e}^{f}\) qui se dérive en \(\left(\text{e}^{f}\right)'=f'\times \text{e}^f\)
Donc \(u'(x)=2\text{e}^{2x}\).
Reprends le calcul de ta dérivée, il faudra ensuite arranger le numérateur en factorisant par \(\text{e}^{2x}\).
Tu devrais trouver \(f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}=\dfrac{2\underline{\text{e}^{2x}}\times (x+1)-1\times\underline{\text{e}^{2x}}}{(x+1)^2}=\dfrac{\text{e}^{2x}(\ldots)}{(x+1)^2}\)
Sachant que \((x+1)^2>0\) et \(\text{e}^{2x}>0\) sur \(]-1\,;\,+\infty[\), le signe de \(f'(x)\) est celui de ton terme entre parenthèses.
Bon calcul
hervé

Re: fonction exponentielle

Message par hervé » sam. 22 mai 2021 10:26

Je n'arrive pas a effectué la factorisation
sos-math(21)
Messages : 10334
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: fonction exponentielle

Message par sos-math(21) » sam. 22 mai 2021 10:32

Bonjour,
je reprends mon précédent message :
\(f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}=\dfrac{2\underline{\text{e}^{2x}}\times (x+1)-1\times\underline{\text{e}^{2x}}}{(x+1)^2}\)
J'ai souligné le facteur commun \(\text{e}^{2x}\) que je réécris une seule fois au numérateur puis je mets entre parenthèses les facteurs venant de chaque terme :
\(f'(x)=\dfrac{\text{e}^{2x}[2(x+1)-1]}{(x+1)^2}\)
Il reste ensuite à développer et réduire ce qu'il y a entre parenthèses et tu dois trouver :
\(f'(x)=\dfrac{\text{e}^{2x}(2x+2-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{\text{e}^{2x}(2x+1)}{(x+1)^2}\)
Bonne suite d'exercice
hervé

Re: fonction exponentielle

Message par hervé » sam. 22 mai 2021 10:47

2x+1 est positif?
sos-math(21)
Messages : 10334
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: fonction exponentielle

Message par sos-math(21) » sam. 22 mai 2021 13:00

Bonjour,
\(2x+1\) n'est pas toujours positif, cela dépend des valeurs de \(x\).
Il faut résoudre l'inéquation \(2x+1>0\) pour connaitre l'intervalle sur lequel cette expression est positive.
À toi de la faire.
Bonne continuation
hervé

Re: fonction exponentielle

Message par hervé » sam. 22 mai 2021 13:46

voilà j'ai essayé de finir est ce cela?
Fichiers joints
Image (332).jpg
sos-math(21)
Messages : 10334
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: fonction exponentielle

Message par sos-math(21) » sam. 22 mai 2021 14:19

Bonjour,
juste une remarque, tu as résolu une inéquation donc ton expression est positive (tu as mis l'expression est croissante).
Pour le tableau, la borne \(-1\) est une valeur interdite donc on met des doubles barres dans le tableau. Et il faut penser à mettre l'image de \(\dfrac{-1}{2}\) afin de compléter celui-ci :
tab_var_expo.PNG
Bonne conclusion
hervé

Re: fonction exponentielle

Message par hervé » sam. 22 mai 2021 14:34

je n'arrive pas à trouver l'image de - 1 sur2 ave le e. et l'équation de la tangente est-elle bonne?
sos-math(21)
Messages : 10334
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: fonction exponentielle

Message par sos-math(21) » sam. 22 mai 2021 15:04

Bonjour,
l'équation de la tangente est correcte.
Pour le calcul de l'image, tu as \(f(-0,5)=\dfrac{\text{e}^{2\times(-0,5)}}{-0,5+1}=\dfrac{\text{e}^{-1}}{0,5}=\dfrac{1}{0,5}\times \text{e}^{-1}=2\text{e}^{-1}\)
Tu peux aussi écrire cela sous la forme \(\text{e}^{-1}=\dfrac{1}{\text{e}^{1}}=\dfrac{1}{\text{e}}\) donc ton image peut aussi s'écrire sous la forme d'une fraction \(\dfrac{2}{\text{e}}\)
Bonne continuation
hervé

Re: fonction exponentielle

Message par hervé » sam. 22 mai 2021 15:13

donc c'est a peu prés égal a 0.74.
sos-math(21)
Messages : 10334
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: fonction exponentielle

Message par sos-math(21) » sam. 22 mai 2021 15:25

Oui, c'est cela.
Habituellement (mais ce n'est pas une obligation), on laisse les valeurs exactes dans le tableau, lorsqu'elles sont assez simples.
Bonne continuation
hervé

Re: fonction exponentielle

Message par hervé » sam. 22 mai 2021 15:26

d'accord merci beaucoup
sos-math(21)
Messages : 10334
Enregistré le : lun. 30 août 2010 11:15

Re: fonction exponentielle

Message par sos-math(21) » sam. 22 mai 2021 15:30

Je pense qu'on a fait le tour.
Est-ce que je peux verrouiller le sujet ?
hervé

Re: fonction exponentielle

Message par hervé » sam. 22 mai 2021 15:39

Oui pas de problème et encore merci.
Verrouillé