Produit scalaire

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Caroline

Produit scalaire

Message par Caroline » sam. 9 janv. 2021 11:43

Bonjour, j'ai besoin de votre aide pour mon DM de Maths.

1) Démontrer que pour tout point M du plan, MA² - MB² = 2IM.AB ( IM et AB en vecteurs ).

Alors là j'ai fait ça :

MA² - MB² = (MA+MB) x (MA-MB)
= (2IM+IA+IB).(BA)
Or IA+IB=O
Donc MA² - MB² = 2IM.AB

2) Dans chacun des cas suivants, déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que :

a. MA²-MB² = 16 b. MA²-MB² = -8

a. Soit H le projeté de M sur AB.
MA²-MB² = 16=2IM.AB
2IM.HB= 2IHxAB= 2x II IH II x II AB II = 16
Comme le produit scalaire est positif, H appartient à la demi droite [AB) avec HA = 5 et HB = 3
car 5² - 3² = 16 ( 25-9 = 16).
L'ensemble des points M est la droite perpendiculaire à AB passant par H.

b. H = projeté de M sur AB. On a : HA²-HB² = -8. Le produit scalaire est négatif, donc H n'appartient pas à la demi droite [AB).
On a HA² = 4 et HB² = 12 soit HA = 2 et HB = V12.
L'ensemble des points M est la perpendiculaire à AB avec HA = -2/8 AB et HB = V12/8 AB.

Bon... Je ne sais pas non plus si c'est juste...
sos-math(21)
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Re: Produit scalaire

Message par sos-math(21) » sam. 9 janv. 2021 12:34

Bonjour,
pour la première question, il y a un problème de sens de vecteur : \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}+\underbrace{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}}_{\overrightarrow{0}}=2\overrightarrow{MI}\)
Ce qui te fait bien \(MA^2-MB^2=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}).(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB})=2\overrightarrow{MI}.(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB})=2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB}\).
Pour le reste la démarche me semble correcte mais il y a des éléments à reprendre.
En effet, l'ensemble des points \(M\) tels que \(MA^2-MB^2=k\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB}=k\),
soit \(2.\overline{IH}\times \overline{AB}=k\) où \(H\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \((AB)\) et on a :
\(\overline{IH}=\dfrac{k}{2\times \overline{AB}}\), ce qui permet de positionner de manière unique le point \(H\) sur la droite \((AB)\).
L'ensemble des points \(M\) cherché est bien la droite perpendiculaire à \((AB)\) passant par le point \(H\) défini par \(\overline{IH}=\dfrac{k}{2\times \overline{AB}}\).
Bonne conclusion
Caroline

Re: Produit scalaire

Message par Caroline » sam. 9 janv. 2021 12:39

Merci pour votre réponse,
Du coup le b de la question 2 est correcte ?
sos-math(21)
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Re: Produit scalaire

Message par sos-math(21) » sam. 9 janv. 2021 12:46

Il me faudrait la valeur de \(AB\) pour tout vérifier.
Tes réponses ne sont pas toujours claires, car il y a des lettres qui changent sans raison.
Par exemple, tu écris
H = projeté de M sur AB. On a : HA²-HB² = -8. Le produit scalaire est négatif, donc H n'appartient pas à la demi droite [AB).
On a HA² = 4 et HB² = 12 soit HA = 2 et HB = V12.
L'ensemble des points M est la perpendiculaire à AB avec HA = -2/8 AB et HB = V12/8 AB.
Je ne suis pas d'accord avec cette écriture : HA²-HB² = -8, cela n'est vrai que pour \(M\) pas pour \(H\).
En partant de \(MA^2-MB^2=-8\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{AB}=-8\),
soit \(2.\overline{IH}\times \overline{AB}=-8\) et \(\overline{IH}=\dfrac{-4}{\overline{AB}}\)
Cela te permettra de placer le point \(H\) sur \((AB)\).
Caroline

Re: Produit scalaire

Message par Caroline » sam. 9 janv. 2021 12:51

Ah oui on me dit dans l'énonce que AB=4 et que I est le milieu de AB
Caroline

Re: Produit scalaire

Message par Caroline » sam. 9 janv. 2021 12:53

Donc IH= -4/4 = -1
sos-math(21)
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Re: Produit scalaire

Message par sos-math(21) » sam. 9 janv. 2021 13:09

Bonjour,
cela me semble correct pour le 2).
Reprends le 1) avec la même démarche pour vérifier si ce que tu as fait est correct : tu dois encore obtenir \(\overline{IH}=\ldots\).
Bonne continuation
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