Distance minimale ?

[Invité]

ABCD est un carré, AB=4,
C est le cercle de centre D et de rayon 4.
T est un point de l'arc AC, intérieur au carré, distinct de A et C.
La tangente au cercle C en T coupe AB en M et le segment (BC) en N.
Le but de ce TD est de trouver la position de T pour laquelle la distance MN est minimale.

On pose AM= x et on essaie d'exprimer y=MN en fonction de x.


1.
a) Montrez que les angles ADT et NMB sont égaux
b) Démontrez que AM= MT et NT=CN.
c) Déduisez en que BN= 4+x-y.

J'ai fait la figure : c'est bon ?

Figure.gif (3.17 Kio) Vu 2702 fois

Après je n'arrive pas à décoller !

Qui peut m'aider svp !

claude

[SoS-Math(11)]

Bonjour Claude,

La figure est juste.
Commence par tracer les segments [DM] et [DN].
Que sais-tu du rayon [DT] et de la tangente ? Compare alors les triangles DMA et DMT d'une part puis DNT et DNC d'autre part.
Déduis-en des égalités d'angles et de longueurs. Cela va t'aider à faire la question 1.
Bonne continuation.

[Invité]

Je ne vois vraiment pas ce qu'on peut dire sur le rayon DT et de la tangente ?

D'autre part tu me dis de comparer les triangles DMA et DMT et DNT et DNC or DMA et DNC ne sont pas des triangles (si ce n'est des triangles "plats")

Peux tu m'éclairer s'il te plait

Claude

[SoS-Math(1)]

Bonjour Claude,
Il semble que ta figure ait un petit problème: le cercle a pour centre B alors que son centre est D dans votre énoncé...
Quand vous aurez interverti les deux points, le message précédent prendra tout son sens.
Bon courage.

[Invité]

Vous avez raison ! Il faut inverser B et D ! Merci
Sinon voici comment je m'y suis pris est-ce que c'est juste ?

1.
a)Prenons le triangle AMD (rectangle en A) nous avons.

AMD + ADM = 90°

Prenons le triangle MTD (rectangle en T)

TMD + MDT = 90°

ADT = ADM + MDT

Donc:

ADT = (90°-AMD) + (90°-TMD)

ADT = 90° + 90° - AMD - TMD

ADT = 180° - (AMD + TMD)

Prenons maintenant la droite AB

AMT + TMB = 180° (des angles suplementaires)

TMB = 180° - AMT or AMT = AMD + TMD

Donc TMB = 180° - AMT
TMB = 180° - (AMD + TMD)

En conséquence: ADT = TMB par conséquent ADT et NMB sont aussi égaux (car TMB et NMB ont le même angle car T se trouve sur la même droite que N)

b)

Dans le triangle DTM, rectangle en T,

DM² = MT² + DT² ( DT² = 4²=16)
= MT² + 16

Dans le triangle DAM, rectangle en A, on a aussi que:

DM² = DA² + AM² = 4² + AM² = 16 + AM²

Donc MT² + 16 = 16 + AM²

et

MT² = AM²

et MT = AM

De même pour les triangles ATN (rectangle en T) et DCN (rectangle en C): on trouve TN = CN

c)

je n'arrive pas au résultat demandé ! J'ai fait :

MN²=BM²+BN²
MN²= (BA-AM)² + BN²
y²= (4-x)² + BN²

donc BN²= y² - (4-x)²

BN² = (y-4+x)(y+4-x) et alors je ne trouve pas BN = 4+x-y ?????? Si tu peux m'aider , merci

2)

Démontrez alors que :
y² =(4-x)²+ (4+x-y)² Cà c'est OK je l'ai fait
puis déduisez en que:
y= (x²+16)/(x+4)

3) j'ai calculé la dérivée avec la formule u'v - uv' / v²

cela donne : (2x) (x+4) - (x²+16)(1) / (x+4)²

et je trouve f ' (x) = [x + 4(1-rac2)][x + 4(1+rac2)] / (x+4)²

Tableau de variation sur [ 0;4] ? oups c'est pas mon fort !!

et après je bloque !!!! de l'aide s'il vous plait !!

b) Déduisez en que la distance MN est minimale lorsque x =4(rac2-1)
Calculez y lorsque x= 4( rac2-1).
En déduire BN et BM et la valeur de l'angle NMB

4.
Déduisez-en la position de T pour laquelle la distance MN est minimale.

PS: rac2 équivaut à racine de 2.


claude

merci encore

[SoS-Math(11)]

Bonjour Claude

Pour BN : MN = y et MT = x déduis-en TN puis NC puis conclus.

Pour la question 3, tu as un trinôme du second degré qui a deux racines, quel est le signe de ce trinôme si x est compris entre les racines ? Tu peux alors trouver le signe de la dérivée et le minimum.
Tu connais alors AM et MN à l'aide de la formule qui te donne y.
Bon courage pour finir