Racines carrées et nombre dérivé

[Mesdhy]

Bonsoir

Dans mon exercice de mon bac blanc, il m'était demandé :

Soit f la fonction définie sur 0 + infini par f(x) = racine de x
a et a + h désignent deux nombres réels de 0 + infini avec h>0

Démontrer que (f(a+h)-f(a)/ h ) = 1/(racine de a+h + racine de a (pardon pour les signes)

Je comprends qu'il faut utiliser le nombre dérivé ( nous n'avons pas encore vu la fonction dérivée ) mais comment puis je aller plus loin ? Je m'entraîne pour un contrôle de maths qui a lieu vendredi.

Merci d'avance

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Mesdhy,

Ce qu'on te demande de calculer est le taux d'accroissement Ta(h)entre a et a +h de la fonction racine carrée.
Sur la courbe de la fonction racine carrée, si tu considères les points A(a;\(\sqrt{a}\)) et M (a+h ;\(\sqrt{a+h}\)), Ta(h) correspond au coefficient directeur de la droite (AM) (pour h différent de 0).

Pour prouver que pour h non nul et a>0 et a+h>0 on a: \(\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}=\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}\), il y a deux méthodes :

* prouver que les "produits en croix" des deux quotients sont égaux.
ou
* Multiplier le numérateur et le dénominateur du premier quotient par \(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}\) puis simplifier.

Bonne recherche
Sosmaths

[Mesdhy]

Bonjour

Merci beaucoup, je comprends! Il suffit donc de démontrer l'égalité. Je pensais que c'était plus compliqué que ça. Mais comment oui-je justifier, mathématiquement, que je multiplie par racine de a + h + racine de a

Cordialement

[Mesdhy]

Bonjour

C'est pas ce que l'on appelé la quantité conjuguée ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
d'une manière générale, un quotient ne change pas de valeur lorsqu'on multiplie en haut et en bas par un même nombre non nul.
Tu peux effectivement parler de quantité conjuguée et avancer le fait que cela permettra de faire disparaître les racines au numérateurs grâce à l'identité remarquable \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) donc ici \(\dfrac{(\sqrt{a+h}-\sqrt{a})(\sqrt{a+h}+\sqrt{h})}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{h})}=\dfrac{a+h-a}{h(\sqrt{a+h}+\sqrt{h})}=\dfrac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{h}}\)
Bonne continuation

[Mesdhy]

Bonjour

Merci beaucoup !

[sos-math(21)]

Bon courage pour la suite,
à bientôt sur sos-math