Trinôme et statistiques

[Maéva]

Bonjour,

Dans un exercice, il m'est demandé :
Démontrer que pour tout réel x : 8x² + 4x + 14 > ou = à 0

J'ai alors calculé Delta, obtenant ainsi -432.

Afin de résoudre cette inéquation, j'ai pensé utiliser les signe d'un fonction.

"a" étant positif et delta négatif, la fonction est donc supérieur à 0.

Mais est-ce suffisant pour le démontrer ou y a-t-il une manière tout autre de la faire ?

Merci de votre aide et bonne soirée

[sos-math(21)]

Bonjour,
en démontrant que ton trinôme a un discriminant négatif, tu montres que l'équation \(8x² + 4x + 14=0\) n'a pas de solution, ce qui signifie que la parabole qui représente le trinôme ne rencontre pas l'axe des abscisses, ce qui veut donc dire qu'elle est complètement au-dessus ou en-dessous de l'axe des abscisses.
Comme le coefficient dominant \(a=8\) est positif, la parabole est complètement au-dessus de l'axe des abscisses donc toutes les ordonnées des points de cette parabole sont positives : ainsi \(8x^2+4x+14>0\).
Ce que tu dis est donc suffisant,
Bonne continuation

[Maéva]

Bonjour,

Merci de votre réponse précédente mais j'ai désormais un nouvel obstacle.

Aux questions suivantes on me demande, sachant que V=(8x²+4x+14)/3

-Existe-t-il des nombres a tels que V=4
En calculant delta, celui-ci est négatif donc aucune racine possible.

-Existe-t-il des nombre a tels que V=14/3
Delta est alors positif (16) et j'ai donc deux solutions possibles : 0 et 0.5

Mais vient alors la dernière question...

Trouver tout les nombres entiers k tels que la propriété suivante est vérifiée : il existe deux nombre réels a tels que V=K/3
On peut dire, avec la réponse précédente, que k = 14 mais je ne sais pas comment trouver ce deuxième nombre.

Merci de votre aide

[SoS-Math(33)]

Bonjour Maëva,
il faut que 8x²+4x+14-k = 0 ait des solutions donc pour cela il faut que le delta soit supérieur ou égal à 0
Si tu calcules le delta tu obtiens : 16-4x8x(14-k) il faut développer et réduire et ensuite trouver les valeurs de k pour lequel le delta est supérieur ou égal à 0.
Je te laisse faire les calculs.

[Maéva]

Bonjour,

j'ai bien fait les calculs vers lesquels vous m'avez guidé et je retrouve a nouveau 14 puisque k est entier et que ça ne peut être 13.5. Seulement, cela ne me fait pas deux réels mais un seul. Comment faire pour trouver le deuxième ?

Mes calculs :
delta = 4²- 4x X 8 X (14-k)
=16-32(14-k)
=16-32 X 14 + 32k
=16-448 + 32k
=-432 + 32k

-432+32K = 0
32K = 432
k = 432/32
k = 13.5
k = 14

Merci pour votre réponse

[sos-math(21)]

Bonjour,
attention, ton trinôme aura deux solutions réelles distinctes si ton discriminant est strictement positif donc si \(32K-432>0\)
ce qui donne effectivement \(K>13{,}5\) mais l'interprétation est différente : TOUTES les valeurs de K supérieures à 13,5 mènent à une équation avec deux solutions réelles distinctes. On a 14>13,5 donc 14 est bien une possibilité de donner deux solutions distinctes.
Mais c'est une possibilité parmi une infinité : \(K\in]13{,}5\,;\,+\infty[\).
Est-ce que tu vois la nuance ?
Bonne continuation

[Maéva]

Bonjour,

Je ne vois pas très bien la nuance. K a donc une infinité de solution comprise en 13.5 et +l'infini ?
Si c'est cela, alors pourquoi dire qu'il y a deux solutions ? 13.5 et l'infini ?

Merci de votre aide

[Maéva]

Bonjour,

Je ne vois pas très bien la nuance. K a donc une infinité de solution comprise en 13.5 et +l'infini ?
Si c'est cela, alors pourquoi dire qu'il y a deux solutions ? 13.5 et l'infini ?

Merci de votre aide

[sos-math(21)]

Il faut que tu distingues le rôle de chaque variable.
Le nombre K est un paramètre qui a une influence sur le nombre de solutions de l'équation :
Si \(K>13{,}5\) alors l'équation \(V/3=K/3\) a deux solutions réelles distinctes, ceci est vrai pour toutes les valeurs de K>13,5.
En conclusion, il existe une infinité de valeurs de K pour lesquelles l'équation V/3=K/3 a deux solutions distinctes.
Est-ce que c'est plus clair ?

[Maéva]

Bonjour

Donc en conclusion, K influence l'équation et lorsque celui-ci est supérieur à 13.5, il admet deux solutions.
C'est pourquoi k a une infinité de solution.

C'est bien cela ?

Merci de votre aide

[SoS-Math(33)]

Bonsoir Maëva,
oui c'est ça selon les valeurs de k, l'équation à aucune solution ou une seule solution ou deux solutions.
Dans ton cas tu veux deux solutions pour l'équation, il faut donc prendre k strictement supérieur à 13,5.
Bonne soirée
SoS-math