devoirs sur les fonctions de reference

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lilou752

devoirs sur les fonctions de reference

Message par lilou752 » ven. 30 nov. 2018 17:09

bonsoir, j'aimerais de l'aide pour des exercices sur les fonctions de références si c'est possible alors voici le sujet:
1. Démontrer que la somme de deux fonctions strictement décroissantes sur un intervalle I est strictement décroissante sur I.
2. Soient et les fonctions définies sur ]3 ; +∞[ par f(x)= 5/x-3 et g(x) = -2x^2+7x+2/x-3
a. Justifier en détails le sens de variation de la fonction sur ]3 ; +∞[.
b. Vérifier que pour tout x > 3,
g(x)=-2x+1+5/x-3
c. En déduire le sens de variation de sur l’intervalle ]3 ; +∞[. (en détaillant la réponse

merci de votre aide bonne soirée
SoS-Math(34)
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Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par SoS-Math(34) » ven. 30 nov. 2018 18:43

Bonsoir Lilou,

Pour pouvoir t'aider, j'aurais besoin de savoir ce que tu as déjà écrit pour tenter de répondre à ces questions.
Comme je ne sais pas exactement où tu bloques il m'est difficile de t'aider.
Voici cependant un rappel pour la première question :

une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si, pour tous réels a et b de I
tels que a < b, alors f(a) > f(b).
Si tu utilises cette définition pour f et g, tu dois pouvoir conclure sur le sens de variation de f+g.

Bonne recherche
Sosmaths
lilou752

Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par lilou752 » ven. 30 nov. 2018 21:15

alors comme f(x) et g(x) sont des fonctions inverses et que la fonction inverse est strictement décroissante alors l'addition des deux le sera aussi
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Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par SoS-Math(25) » sam. 1 déc. 2018 11:10

Bonjour Lilou,

Les énoncés des questions 2) et 2b) ne sont pas complets. Peux-tu les rectifier ?

Commençons par la question 1) : " Démontrer que la somme de deux fonctions strictement décroissantes sur un intervalle I est strictement décroissante sur I. "

f et g sont deux fonctions strictement décroissantes sur I (ce ne sont pas forcément des fonctions inverses). Il faut utiliser la définition de fonctions décroissantes sur I :

Soient x et y dans I. Il faut montrer que si \(x < y\) alors \(f(x)+g(x) > f(y) + g(y)\).

Pour partir, on utilise le fait que f et g sont strictement décroissantes sur I :

Si \(x < y\), par définition, on a \(f(x) > f(y)\) et aussi .... Je te laisse poursuivre la démonstration.


Bon courage
lilou752

Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par lilou752 » sam. 1 déc. 2018 11:19

f(x)+g(x)>f(y)+g(y)
(f+g)(x)>(f+g)(b)
ainsi j'ai démontré que la somme de (f+g)(x) est > (f+g)(y) donc la fonction f+g est décroissante sur un intervalle I.

comment je peux detailler le sens de variation de ma fonction f(x)= 5/(x-3)??

merci de votre aide
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Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par SoS-Math(25) » sam. 1 déc. 2018 11:33

lilou752 a écrit :f(x)+g(x)>f(y)+g(y)
(f+g)(x)>(f+g)(b)
ainsi j'ai démontré que la somme de (f+g)(x) est > (f+g)(y) donc la fonction f+g est décroissante sur un intervalle I.
Oui... il manque quelque chose avant. Comment arrives-tu à f(x)+g(x)>f(y)+g(y) ?
lilou752 a écrit :f
comment je peux detailler le sens de variation de ma fonction f(x)= 5/(x-3)??
De même, grâce à la définition :

Soient x et y appartenant à l'intervalle ]3;+infini[.

Si x<y

x-3 < y-3

... à compléter ...

alors f(x)>f(y)

Bon courage
lilou752

Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par lilou752 » sam. 1 déc. 2018 11:49

je ne comprend pas bien désolé je n'arrive pas à compléter
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Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par SoS-Math(25) » sam. 1 déc. 2018 12:03

SoS-Math(25) a écrit :
De même, grâce à la définition :

Soient x et y appartenant à l'intervalle ]3;+infini[.

Si x<y

x-3 < y-3

... à compléter ...

alors f(x)>f(y)
Je reprends :

Soient x et y appartenant à l'intervalle ]3;+infini[.

En partant de x<y, il faut que tu montres que \(\dfrac{5}{x-3} >\dfrac{5}{y-3}\).

Il faut donc enchaîner les opérations et à chaque étape, savoir si l'on conserve le signe < ou si l'on change ce signe.

Donc :

x<y

x-3 < y-3 (car enlever 3 de chaque côté d'une inégalité ne change pas le signe de l'inégalité)

\(\dfrac{1}{x-3}...?... \dfrac{1}{y-3}\) (car ...)

Bon courage
lilou752

Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par lilou752 » sam. 1 déc. 2018 12:14

moi j'avais commencer par dire que x-3 est une fonction affine avec a>0 donc la fonction est croissante ensuite 1/(x-3) devient décroissante car la fonction affine est de signe constant et ne s'annule pas sur l'intervalle I alors la fonction x-3 et 1/(x-3) sont de sens contraire et pour finir 5/(x-3) avec λ=5 et λ>0 la fonction reste décroissante et ne change pas de sens de variation
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Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par SoS-Math(25) » sam. 1 déc. 2018 12:20

Cela fonctionne aussi, c'est très bien.

A bientôt
rebeckha

Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par rebeckha » sam. 1 déc. 2018 12:36

merci j'ai réaliser un tableau de variation ais dois-je mettre 0 comme valeur interdite a partie de 1/(x-3)

pour justifier que pour tout x>3 g(x) = (-2x^2+7x+2)/(x-3)
j'ai fait:
(-2x^2+7x+2)/(x-3) = -2x+1+5/(x-3) avec x diffèrent de 3
(-2x^2+7x+2)/(x-3) +2x-5/(x-3)=1
(-2x^2+7x+2+2x(x-3)-5)/(x-3)=1
(-2x^2+7x+2+2x^2-6x-5)/(x-3)=1
(7x+2-6x-5)/(x-3)=1
(x-3)/(x-3)=1
1=1
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Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par SoS-Math(25) » sam. 1 déc. 2018 13:22

Je suis désolé Rebeckha mais je n'ai pas compris l'énoncé de la question 2. Peux-tu le reprendre ? Que dois-tu démontrer ?

'
rebeckha a écrit :merci j'ai réaliser un tableau de variation ais dois-je mettre 0 comme valeur interdite a partie de 1/(x-3)

pour justifier que pour tout x>3 g(x) = (-2x^2+7x+2)/(x-3) Je ne comprends pas... Que dois-tu démontrer ?
(-2x^2+7x+2)/(x-3) = -2x+1+5/(x-3) avec x diffèrent de 3 pourquoi cette équation ?
(-2x^2+7x+2)/(x-3) +2x-5/(x-3)=1
(-2x^2+7x+2+2x(x-3)-5)/(x-3)=1
(-2x^2+7x+2+2x^2-6x-5)/(x-3)=1
(7x+2-6x-5)/(x-3)=1
(x-3)/(x-3)=1
1=1
rebeckha

Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par rebeckha » sam. 1 déc. 2018 13:44

je dois démontrer que pour tout x>3
g(x) = -2x+1+5/(x-3)
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Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par SoS-Math(25) » sam. 1 déc. 2018 14:16

Je viens de comprendre. Il manquait des parenthèses dans l'énoncé de départ.

Tu as \(g(x)=\dfrac{-2x^2+7x+2}{x-3}\) et tu dois arriver à \(g(x)=-2x+1+\dfrac{5}{x-3}\).

Partir de (-2x^2+7x+2)/(x-3) = -2x+1+5/(x-3) n'est pas une bonne démarche car tu es déjà entrain de supposer que c'est vrai pour conclure que c'est vrai.

L'idée est de partir de

\(-2x+1+\dfrac{5}{x-3}=...\) et mettre le tout sur le même dénominateur pour arriver à g(x) donnée dans l'énoncé.

Bon courage
rebeckha

Re: devoirs sur les fonctions de reference

Message par rebeckha » sam. 1 déc. 2018 14:35

oui merci j'ai réussit et donc j'ai retrouver la fonction de départ.
maintenant pour déduire le signe de g(x) je part de x = fonction affine avec a>0 donc croissante ensuite -2x avec =-2 soit <0 donc le sens de vafiation est contraire donc décroissant
puis je rajoute -2x+1 l'ajout de la constante +1 ne change pas le sens de variation donc c'est toujours décroissant mais la suite je bloque
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