probabilités

[Natacha]

rebonjour,

voici un exercice pour lequel je pense avoir trouvé la question 1 mais la 2 me pose problème :

Deux petits cinémas A et B possèdent respectivement quatre et cinq écrans géants qui fonctionnent indépendamment.
Chaque écran a la même probabilité p=\(10 exposant -3\) de tomber en panne.
Un cinéma n'ouvre que si au moins la moitié de ses écrans fonctionnent.
1) Quel cinéma a-t-on le plus de chance de trouver ouvert?
2) Ce résultat est-il valable pour toute valeur p telle que 0<p<1?
(attention de bien rédiger une solution avec une rédaction rigoureuse mathématiquement)

donc pour la 1-
p=0.001 est la probabilité qu'un écran tombe en panne donc p=0.999 est la probabilité qu'il fonctionne.

pour le cinéma A n=4 pour le B n=5
B = (n;p) = (n;0.999)

pour le cinéma A "au moins la moitié de ses cinémas fonctionnent" correspond à P (X\(\geq\)2)
p(X\(\geq\)2) = 0.999999996

pour le cinéma B "au moins la moitié de ses cinémas fonctionnent" correspond à P(X\(\geq\)3)
P(X\(\geq\)3)= -0.59156044

donc A a le plus de chance d'être fermé.

est-ce bon si oui comment procéder pour la deuxième question ? Merci

[sos-math(27)]

Bonjour Natacha,
Ton raisonnement est bon, mais il y a une erreur dans le second calcul, (en plus tu trouve un résultat négatif, ce qui est impossible)
\(p(X_A>=2)=0.999~ 999~ 9\) et \(p(X_B>=3)=0.999~ 999~ 99\) on a donc la probabilité que A soit ouvert inférieure à la probabilité que B soit ouvert.

Pour la seconde question, il faut écrire le cas général du raisonnement avec p la probabilité de panne de l'écran ...
il faut reprendre ton raisonnement dans le cas général.
Je te laisse continuer. à bientôt

[Natacha]

oui j'avais vu pour l'erreur de calcul j'ai corrigé.

pour la 2-

on sait que na= 4 et nb=5
na inférieur à nb

P(X=k) =( k) exposant n * pk * q exposant (n-k)

????

[sos-math(27)]

Bonjour Natacha,
Attention, dans la formule qui permet de calculer la probabilité p(X=k), on a le coefficient du binôme \(\binom{n}{k}\) et non pas \(k^n\) !!
La variable X représente toujours le nombre d'écran en état de fonctionner, pour chaque cinéma
Afin de faciliter le calcul, je te propose de raisonner sur la probabilité que les cinémas soient fermés, c'est à dire de calculer :
Pour le cinéma A : \(p(X_A<2)=p(X_A \leq 1)=p(X_A =0)+p(X_A = 1)\)
On peut alors calculer vraiment cette probabilité avec p

Il faudra faire la même démarche pour \(X_B\)
à bientôt

[Natacha]

p(XA<2)=p(XA≤1)=p(XA=0)+p(XA=1)

p(XB<3) = p(XB≤2) = p(XB=0)+p(XB=1)+p(XB=2)

[sos-math(27)]

C'est cela, il faut maintenant écrire les formules qui permettent de calculer les valeurs avec p ...

Par exemple : Ciné A : \(p(X=0)= p^4\)
à bientôt

[Natacha]

sauf que subtilité de l'énoncé, le "au moins...cinémas"....

du coup j'ai modifié :

PA = (X≤2) car Un cinéma n'ouvre que si au moins la moitié de ses écrans fonctionnent. donc 2 cinémas/4 en panne
PB = (X≤2) car Un cinéma n'ouvre que si au moins la moitié de ses écrans fonctionnent. donc 2 cinémas/4 en panne

PA = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = q exposant 4 + (4 * p * q exposant 3) + (6 * p exposant 2 * q exposant 2)

PB= P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = q exposant 5 + (5 * p * q exposant 4) + (10 * p exposant 2 * q exposant 3)

Avec p tel que 0<p<1 et donc 0<q<1

on a forcément q4 > q5
et (4 * p * q exposant 3) > (5 * p * q exposant 4)
et (6 * p exposant 2 * q exposant 2) > (10 * p exposant 2 * q exposant 3)

Donc PB < PA et le cinéma B a toujours moins de chance de fermer .....

c'est ça ?????

[SoS-Math(30)]

Bonjour,

Il n'y a pas d'erreur dans ce qui t'avait été proposé dans le précédent message.
Le cinéma A ouvre lorsqu'au moins la moitié (c'est-à-dire 2) de ses écrans fonctionnent et donc 2 en panne.
Ainsi le cinéma A est fermé lorsque 3 ou 4 écrans sont en panne.
S'il y en a 2 en panne et 2 en état de fonctionnement, il est ouvert.

Ensuite, tes formules sont correctes.
Par contre, pour comparer les deux résultats, il est préférable de les soustraire et d'étudier le signe de la différence.
Tes comparaisons terme à terme sont difficilement réalisables. De plus, dans l'un il y a deux termes et dans l'autre il y en a 3.
Calcule la différence, essaie de mettre en facteur dans certains termes, tu pourras ainsi aboutir à ce que tu souhaites.

SoSMath