DM de maths TS
Posté : mar. 20 févr. 2018 19:13
Bonjour, j'ai besoin d'aide pour mon DM de maths, je bloque à partir de la 3)a).
Le sujet est :
Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x3-2 et C sa courbe représentative (O ; I ; J).
Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l'intervalle [1;2]. Elle est appelée racine cubique de 2.
a) On construit une suite (xn) de la façon suivante : x0 = 2 et, pour tout n ≥0, xn+1 est l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente à la courbe C en son point d'abscisse xn.
Emettre une conjecture sur la suite (xn).
a) Montrer que la tangente à la courbe C au point d'abscisse t, 1 ≤ t ≤ 2, coupe l'axe des abscisses en g(t) = t - f(t)/f'(t).
b) Justifier que g(α) = α.
c) Sur [α ; 2], donner le signe de f et de f’ et en déduire que g(t) ≤ t pour tout t ∈ [α ; 2].
Montrer que, sur [α ; 2], g(t) = 2/3t + 2/3t² et montrer que g’(t) = 2f(t)/3t3.
Montrer que pour α≤t≤2, on a α≤ g(t) ≤2.
a) Montrer que, pour tout n ≥ , α≤x_n≤2.
Montrer que la suite (xn) est décroissante.
Justifier que la suite (xn) est convergente et a pour limite α.
On traitera en module l’algorithme permettant de réaliser des approximations des solutions d’une équation numérique avec une précision choisie en utilisant la méthode de Newton.
Le sujet est :
Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x3-2 et C sa courbe représentative (O ; I ; J).
Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l'intervalle [1;2]. Elle est appelée racine cubique de 2.
a) On construit une suite (xn) de la façon suivante : x0 = 2 et, pour tout n ≥0, xn+1 est l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente à la courbe C en son point d'abscisse xn.
Emettre une conjecture sur la suite (xn).
a) Montrer que la tangente à la courbe C au point d'abscisse t, 1 ≤ t ≤ 2, coupe l'axe des abscisses en g(t) = t - f(t)/f'(t).
b) Justifier que g(α) = α.
c) Sur [α ; 2], donner le signe de f et de f’ et en déduire que g(t) ≤ t pour tout t ∈ [α ; 2].
Montrer que, sur [α ; 2], g(t) = 2/3t + 2/3t² et montrer que g’(t) = 2f(t)/3t3.
Montrer que pour α≤t≤2, on a α≤ g(t) ≤2.
a) Montrer que, pour tout n ≥ , α≤x_n≤2.
Montrer que la suite (xn) est décroissante.
Justifier que la suite (xn) est convergente et a pour limite α.
On traitera en module l’algorithme permettant de réaliser des approximations des solutions d’une équation numérique avec une précision choisie en utilisant la méthode de Newton.