SOS-MATH

Bonsoir, j'ai un exercice de maths sur les fonctions et je suis bloquée. Pourriez vous m'aider ? 

Enoncé= On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x²/(x²+1) 

1.Etablir que por tout réel x,f(x) = 1- (1/x²+1). En déduire le sens de variation de f sur R. 
2. 3 affirmations , pour chacunes d'entre elles, dire si elle est vraie ou fausse et justifier 
     a) Pour tout réel x, on a 0 <= f(x) <1 
     b)f admet 0 comme minimum sur R 
     c) 1 est le maximum de f sur R 

J'ai déjà réussi la question 1 mais la 2 je n' y arrive je pense que a= faux b= vraie et c = vraie mais je ne sais pas comment le démontrer

Bonjour je n arrive pas à répondre à la question 2, si qq pouvait m aider ça serait top !

Bonjour Charline,
pour la question 1 tu as fait un tableau de variation? quelles variations as tu trouvé ?
Pour la question 2 si b et c sont vraies a peut-elle être fausse? As tu tracer ta courbe sur GeoGebra ou sur ta calculatrice pour te faire une idée des réponses?

J ai trouvé que la fonction était décroissante sur R- et croissante sur R+.
Oui je l ai trace elle atteint un minimum en 0 mais le maximum n est pas 1 si ? Je pense qu il n y a pas de maximum

As tu calculé les limites en + et - infini ?
Effectivement il y a un minimum en 0, c'est la valeur où la fonction change de sens de variation. (la dérivée s'annule en changeant de signe)

Nan je ne vois pas du tout comment faire alors que je cherche depuis mAintenant une sémane déjà...
Pour la 2.a le tableau de variation suffit à démontrer ?

Il te faut calculer les deux limites qui vont te donner 1, ainsi tu pourras conclure que f(x)<1
Avec le calcul de la dérivé en 0 tu pourras justifier que f(x) >= 0
Et tu utilises le tableau de variations.

Je commence à voir mais comment je calcule les limites ?

Si tu as pas encore vu les limites en classe, tu as du voir les études de fonction de références notamment en partant de x²

Oui je suis entrain de le faire ! Mais je ne vois vraiment pas comment faire

Si tu n'y arrives pas, essaie peut-être cette autre méthode pour prouver que le 2)a) est vrai.
Pour f(x) >= 0 : étudie le signe du numérateur (Que sais-tu du signe de x²?), puis celui du dénominateur (presque la même démarche)et déduis-en le signe du quotient f(x). (règle des signes pour la division)
Pour f(x) < 1, tu peux aussi comparer le numérateur avec le dénominateur (Lequel est le plus grand?)
Tu pourras utiliser : Pour tous réels a et b strictement positifs, a < b équivaut à a/b < 1.

Bonne recherche
Sosmaths

Pour f(x) >= 0
1/x est décroissante sur R* /0
X2 est décroissante sur R- et croissante sur R+
Pareil pour X2 +1
Donc x2/(x2+1) est décroissante sur R- et croissante sur R+
C est ça ?

Puis pur f(x) <1
x2 <x2+1 après je bloque..

Bonjour Charline,

Es-tu à la question 2a ? Je ne comprends pas le lien avec ta conclusion.

Pour montrer que \(0\leq \frac{x^2}{x^2+1}\), il suffit de montrer que le numérateur et le dénominateur sont de même signe (positif ici).

Pour montrer que \(\frac{x^2}{x^2+1} < 1\), il faut montrer que le numérateur est strictement plus petit que le dénominateur (car il sont tous les deux positifs).

Bon courage !

Avec \(x^2 < x^2+1\) tu peux montrer que f(x) <1 (il suffit de diviser ton inégalité par \(x^2 +1\) en justifiant que \(x^2 +1\) est strictement positif...).

A bientôt