SOS-MATH

Bonjour,
j'attaque aujourd'hui la seconde partie de mon DM.
La première partie étant déjà corrigé par l'un de vos collègue. :)

On a déjà démontrer que AG = ( 2/3 )AA'.
On admet que (vecteur)BG = 2/3(vecteur)BB' et (vecteur)CG = 2/3(vecteur)CC'
2) Démontrer que (vecteurs)GA + GB + GC = 0(vecteur nul )

GA+GB+GC=0
donc avec Chasles :
GA+GA+AB+GA+AC=0
c'est à dire :
3GA=-AB-AC
et finalement :
3AG=AB+AC

3) a. Construire le point K tel que OK = OA + OB + OC. Quelles conjectures pouvez-vous faire ?

b. Démontrer que OB + OC = 2OA'. En déduire l'expression de AK en fonction de OA'.

c. Justifier que les droites (AK) et (OA') sont parallèles.

Merci d'avance pour votre aide.

Pour la 3) a. J'ai noté : OK = OA + OB + OC
mais OB + OC = 2OA'
ce qui donne OA + AK = OA + 2OA'
AK = 2OA'
Mais je ne pense pas que ce soit ça.

Bonjour Alice,
pour la question 2) ton calcul est correct mais tu ne montres pas le résultat, il manque une conclusion.

Tu dois partir de \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\) et arriver à \(\overrightarrow{0}\).
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = 3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)
Or \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}= 2\overrightarrow{AA'} = 3\overrightarrow{AG}\)
Donc \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = 3\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{0}\)

3a) si tu as fait la construction tu dois pouvoir conjecturer que O,K,G sont alignés.

3b) il te manque le début
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'C}\)
\(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C}\)
Or A' milieu de [BC] donc \(\overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{0}\)
et donc \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA'}\)
ce que tu as fait ensuite est correct
Il te faut terminer l'exercice maintenant

Merci, je comprend mieux maintenant, la démarche à faire.

c. AK = 2OA' donc (AK) et (OA') sont parallèles.

d. Démontrer que les droites (AK) et (BC) sont perpendiculaire.

Comme OA' est sur une médiatrice, ce vecteur est perpendiculaire à (BC) donc (AK) l'est aussi et K est la
hauteur issue de A.

Oui ton raisonnement est correct.
OBC est isocèle en O et A' milieu de [BC] donc (OA') médiatrice de [BC] donc (OA') perpendiculaire à (BC)
Comme (AK) et (OA') sont parallèles alors (AK) et (BC) sont perpendiculaires.

Il ne me reste plus qu'une petite partie.

f) En déduire que l'orthocentre H du triangle ABC vérifie (vecteur)OH = OA + OB + OC
(AK) est perpendiculaire à (BC) donc (AK) est la hauteur issue de A
(BK) perpendiculaire à [AC] donc (BK) est la hauteur issue de B

ces deux hauteur ont pour point commun K donc K est l'orthocentre du triangle (ABC).
donc H=K

donc OH=OA+OB+OC

4) Démontrer que OH = 3OG
Les conjectures sont-elles vérifiées ?

L'orthocentre H et K sont confondus.

En tout cas merci d'avoir pris le temps de m'aider.
Bonne soirée.

De quelles conjectures parles tu?

Ils faut conjecturer OH = 3OG

Bonsoir Alice,
je pense que l'on te demande grâce à ce résultat de vérifier si les conjectures faites à la question 3) sont vraies.