montrer que B,D et Q sont alignés

[léo]

Bonsoir,

ABCD est un carré
P est un point du segment [AB] distincts de A et B.R est le point du segment [AD] tel que DR = AP
puis, le point Q tel que APQR soit un rectangle

Démontrer que B,D et Q sont alignés

(Utiliser les 2 méthodes suivantes : Les vecteurs et les coordonnées dans un repère bien choisi

---------------------------------------------------------
Je me suis placé dans le repère (A,AP;AR)

QA = AR + AP et pour utiliser la relation de Chasles QA = -RA + AP
soit QA = - RP

comme R(0;1) P(1;0) A(0;0)
j'ai ensuite fait un système de 2 équations
0-xQ = -(1 -0)
-xQ = -1

0 - yQ = -(0 - 1)
-yQ = 1

[SoS-Math(31)]

Bonjour Léo,
Non, la relation de Chasles donne \(\overrightarrow{QA}=\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RA}\).
Je te conseille pour le repère de choisir les côtés du carré ABCD.

[léo]

Bonjour

avant de choisir le repère \(A,\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\), je voudrais tenter un dernier essai en gardant le premier repère

l'énoncé donne DR = AP
comme ABCD est un carré

\(\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{PQ}\)
en partant de cette égalité vectorielle

\(\left(x_{R}-x_{A}\right)=\left(x_{Q}-x_{P}\right)\)

\(\left(y_{R}-y_{A}\right)=\left(y_{Q}-y_{P}\right)\)

A étant l'origine du repère
A(0;0)
P(1;0) et R(0;1)


j'ai une première équation qui est :
\(\left(0 - 0\right)=\left(x_{Q}-1\right)\Leftrightarrow 0 =x_{Q}-1\Leftrightarrow x_{Q}=1\)

puis une deuxième équation pour l'ordonnée du point Q
\(\left(1-0\right)=\left(y_{Q}-0\right)\Leftrightarrow y_{Q}=1\)

[SoS-Math(34)]

Certes, dans ton repère, Q a bien pour coordonnées (1;1).
Cependant, pour démontrer l'alignement des points B, D et Q dans ce repère, tu vas avoir besoin de déterminer les coordonnées de B et de D dans ce repère... ce qui est possible, mais n'est pas très simple, notamment parce que ce repère n'est pas orthonormal. ([AP] et [AR] n'ont pas la même longueur).
Ceci explique notamment la piste de mon collègue qui te proposait de choisir un autre repère.

[léo]

Bonsoir

Pour que les points B,D et Q soient alignés, cela signifie que le point Q est le centre des diagonales du carré ABCD
donc AP = AR
--> j'aurais tendance à dire que le AP et AR ont meme longueur

N'hésiter pas à me contredire !!

[léo]

Bonsoir

en fait j'ai dit des bêtises dans mon dernier message
là, je viens de faire une figure ( APQR est un rectangle )
et apparement le point Q sera dans l'alignement des points B et D

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Léo,

Tu as exploré tes idées, un conseil pour un autre repère t'a été proposé mais tout reste à faire...
Que cherches-tu à démontrer (au delà des points B, D et Q alignés) ?
Une fois cet élément clarifié, nous pourrons passer à la mise en place d'une démarche mathématique.

A bientôt

[léo]

Bonsoir

je ne comprends pas, quand vous me dites : Que cherches tu à démontrer

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Tu cherches à démontrer que les trois points sont alignés mais, pour cela, quel est ta démarche ? De quoi parts-tu et où veux-tu arriver ?

J'espère avoir été plus explicite.
A bientôt

[léo]

Bonsoir
et merci de me répondre rapidement, c'est très sympa !!

Pour démontrer l'alignement des points B,D et Q il faut prouver, par exemple que les vecteurs \(\overrightarrow{BD}\) et \(\overrightarrow{DQ}\) sont colinéaires

c'est cela ??

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

C'est très bien et pour cela, tu cherches à déterminer les coordonnées de ces vecteurs. Dans le repère \((A,\vec{AB};\vec{AC})\), exprime les coordonnées des points dont tu as besoin pour calculer les coordonnées de ces deux vecteurs.
Un résultats important de ton cours devrait alors te permettre de conclure.

Bonne continuation.

[léo]

Bonsoir
il faut que j'utilise la méthode avec les vecteurs

[léo]

\(\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{RD}=x\overrightarrow{AD}\) donc \(\overrightarrow{DR}=-x\overrightarrow{AD}\)

\(\overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{DR}+\overrightarrow{RQ}\)

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Je te conseille de travailler avec les coordonnées des points. Tu places P sur [AB] tel que AP=x donc les coordonnées de P sont ... Ensuite recherche les coordonnées de R pour enfin trouver celles de Q.
Avec les coordonnées de B et de D qui sont relativement faciles à trouver, tu auras les coordonnées des deux vecteurs.

Bonne continuation.

[Léo]

Bonjour
J'ai cette idée avec les vecteurs
\(\overrightarrow{QD}=\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RD}\)
En posant AP = x

\(\overrightarrow{RD}=x\overrightarrow{AD}\)

Soit \(\overrightarrow{QD}=\overrightarrow{QR}+x\overrightarrow{AD}\)

Ensuite, puis je dire \([tex]\)\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PA}[\tex]