Suite arithmétique

[Clara]

Bonjour, j'ai un dm à rendre pour vendredi et je bute sur quelques questions.
Voici l'énoncé de mon premier exercice: Soit (u indice n) la suite définie sur N ( entiers naturels ) par: u indice n = n carré + 1 / 2n+3. Etudier le sens de variation de la suite (u indice n)

Voici ce que j'ai fais:
u indice n+1= (n+1) carré +1 / 2(n+1) +3 = n carré +2 / 2n+5
u indice n+1 - u indice n= (2n+3)(n carré + 2) / (2n+3)(2n+5) - (n carré +1)(2n+5) / (2n+3)(2n+5)
= 2n cube + 4n + 3n carré + 6 -2n cube - 5n carré - 2n - 5 / (2n+3)(2n+5)
= -2n carré + 2n + 1 / (2n+3)(2n+5)
J'ai ensuite calculé le signe de -2x carré + 2x + 1, et j'ai trouvé delta=12, puis j'ai calculé les deux racines mais je suis pas sûre du tout si c'est la bonne méthode à adopter.

Merci

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Clara,

La méthode consistant à calculer u(n+1) - u(n) et à déterminer son signe est une bonne idée.
J'attire ton attention sur une erreur de calcul.
Quand tu exprimes u(n+1) en fonction de n, le numérateur n'est pas n²+2.
En effet tu calcules (n+1)² + 1, et le premier terme de cette somme est alors une identité remarquable du type (a+b)².
Je te laisse reprendre cette partie du calcul et voir les conséquences sur la suite de ta démarche.
Normalement, à la fin de ton calcul, tu devrais trouver -2n² - 8n - 1 au numérateur.

Bonne recherche
Sosmaths

[Clara]

Bonsoir,

Avec l'application de l'identité remarquable, je trouve u(n+1)= n carré + 2n + 1 / 2n+5
Et à la fin de mes calculs je trouve au numérateur 2n carré + 6n -2, ce qui n'est toujours pas la bonne réponse

[SoS-Math(34)]

Bonsoir,

Attention, une petite erreur de calcul : n²+2n+1 est bien l'expression développée de (n+1)²,
mais le numérateur de u(n+1) est (n+1)² + 1... dont la forme développée est donc n²+2n+1 + 1 = ...
u(n) = (n²+1)/(2n+3) et donc u(n+1)=(...)/(2n+5).
Reprends le calcul de u(n+1) - u(n) à partir de ce que tu avais fait la première fois, et en tenant compte de ce que tu as corrigé concernant l'identité remarquable, car tu y étais presque.

Bonne recherche

[Clara]

En corrigeant mon erreur, j'arrive à la fin avec 2n carré + 8n + 1 au numérateur alors que je suis censée trouver cete expression mais avec des -

[SoS-Math(33)]

Bonjour Clara,
si tu as calculé \(U_{n+1}-U_n\) tu as le bon résultat : \(\large\frac{2n^2+8n+1}{(2n+3)(2n+5)} = \frac{2n^2+8n+1}{4n^2+16n+15}\)
Tu peux poursuivre ton exercice

[Clara]

J'ai donc fait delta pour le numérateur et le dénominateur. Je trouve delta= 56 pour le numérateur et delta= 16 pour le dénominateur, puis j'ai calculé les racines et j'ai trouvé -5/2; -3/2 et 4+racine de 14/2: les 3 racines sont négatives. Est-ce qu'il faut maintenant que je fasse un tableau de signes ou pas ?

[SoS-Math(33)]

Tu veux connaitre le sens de variation de la suite, c'est à dire soit croissante soit décroissante.
Pour cela tu veux étudier le signe de \(U_{n+1}-U_n\).
Si \(U_{n+1}-U_n>0\) alors la suite est croissante
Si \(U_{n+1}-U_n<0\) alors la suite est décroissante
Ton calcul te donne : \(U_{n+1}-U_n= \large\frac{2n^2+8n+1}{4n^2+16n+15}\)
Tu sais que n est un entier naturel donc positif : le numérateur est une somme de termes positifs donc il est positif, de même pour le dénominateur donc tu peux en déduire le signe de \(U_{n+1}-U_n\).
Ici l'étude du polynôme n'est pas utile.
Tu comprends le principe de cette justification?

[Clara]

Bonsoir,
Ah oui d'accord j'ai compris. Le quotient de 2 termes positifs est forcément positif, donc la suite est croissante.
Il y a aussi une autre question sur laquelle je bloque dans un autre exercice du dm, j'en fais part ici, mais je créerai un autre sujet si il faut.
L'énoncé: La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par : uo=-3
un+1= un-1/un+1
1. Calculer u1, u2, u3, u4 (détailler les calculs).
u1= uo-1/uo+1 =-3-1/-3+1 =-4/-2 =2 Puis j'ai trouvé 1/3 pour u2, -1/2 pour u3 et -3 pour u4.

2. Avec la calculatrice, donner les douze premiers termes de la suite. Que constate-t-on ?
J'ai dis que on constatait que la suite se répétait en donnant toujours les termes dans le même ordre: -3;2;1/3;-1/2.

3. Démontrer que pour tout entier naturel n, un+4 = un.
C'est la fameuse question où je bloque, je ne comprends pas comment on peut démontrer.

[SoS-Math(33)]

Pour les premières question ce que tu as fait est correct.
Pour la dernière question il faut y répondre par le calcul.
Tu as \(U_{n+1}=\large\frac{U_n-1}{U_n+1}\)
à partir de la tu calcules \(U_{n+2}=\large\frac{U_{n+1}-1}{U_{n+1}+1}\) tu remplaces \(U_{n+1}\) par son expression, tu obtiens ainsi \(U_{n+2}=\large\frac{\large\frac{U_n-1}{U_n+1}-1}{\large\frac{U_n-1}{U_n+1}+1}\)
Je te laisse terminer ce calcul.
Ensuite tu calcules \(U_{n+3}\) avec le résultat que tu obtiens ( tu obtiens quelque chose de simple) et enfin tu calcules \(U_{n+4}\) avec le résultat de \(U_{n+3}\)
A toi de faire les calculs maintenant.

[Clara]

Bonsoir,
Je n'ai malheureusement aucune idée de comment on simplifie et calcule ce genre d'expressions. J'ai tenté et trouvé pour un+2: un-2/un / un/un+2

[SoS-Math(33)]

Je te montre le calcul pour \(U_{n+2}\)
Il faut mettre au même dénominateur pour le numérateur et pour le dénominateur
\(U_{n+2}=\large\frac{\large\frac{U_n-1}{U_n+1}-1}{\large\frac{U_n-1}{U_n+1}+1}=\large\frac{\large\frac{U_n-1-U_n-1}{U_n+1}}{\large\frac{U_n-1+U_n+1}{U_n+1}}=\large\frac{U_n-1-U_n-1}{U_n+1}\times {\large\frac{U_n+1}{U_n-1+U_n+1}}=\large\frac{U_n-1-U_n-1}{U_n-1+U_n+1}=\large\frac{-2}{2U_n}=\large\frac{-1}{U_n}\)
En prenant \(U_{n+2}=\large\frac{-1}{U_n}\) essayes de calculer \(U_{n+3}\) sur le même principe

[Clara]

En calculant un+3, je trouve à un moment: -2/un * un/0 or diviser par 0 est impossible

[SoS-Math(33)]

\(U_{n+3}=\large\frac{\large\frac{-1}{U_n}-1}{\large\frac{-1}{U_n}+1} =\large\frac{\large\frac{-1-U_n}{U_n}}{\large\frac{-1+U_n}{U_n}} =\large\frac{-1-U_n}{U_n}\times {\large\frac{U_n}{-1+U_n}} =\large\frac{-1-U_n}{-1+U_n}\)
Vérifie ton calcul pour retrouver ton erreur puis essaye de faire le calcul pour \(U_{n+4}\)
Si c’est pas pour demain je te conseille de faire une pause et de reprendre demain à tête reposée
Tu as bien travaillé pour aujourd'hui.
Bonne soirée

[Clara]

Bonsoir,
Décidément, je pense que je n'ai pas encore pris le bon 1 puisque je trouve o/2un à la fin au lieu de trouver un...
Bonne soirée