SOS-MATH

Bonsoir
j'ai un autre exercice pour lequel je bloque totalement
Étude d’une fonction à l’aide de sa dérivée seconde
On considère la fonction f définie sur IR par f(x) =x4−2x3+ 2x2−2x+ 5.
On note f′ la fonction dérivée de f et f′′ la dérivée de f′.
1 calculer f" (x) et étudier son signe.
2. En déduire les variations de f′.
3. Calculer f′(1) et en déduire le signe de f′(x).
4. Étudier enfin les variations de f

1) f'(x)= 4x3 - 6x2 +4x -2
f”(x) = 12 x2 -12x +4

Δ= b2 - 4ac
= -122 - 4*12*4
= 144 – 192
= -46
Δ négatif on ne peut pas factoriser donc pas de variation
je dois faire une erreur dans la dérivée mais je ne la voit pas
merci de votre aide

Bonsoir patricia,
si ton \(\Delta\) est négatif cela veut dire que ta fonction \(f''(x)\) ne s'annule pas donc elle est toujours du même signe celui de a (ici 12) donc \(f''(x)>0\)
Du coup tu as les variations de \(f'(x)\)
Je te laisse poursuivre ton exercice.

Bonsoir Patricia,
Tes calculs sont justes. Attention à bien noter les carrés.
Le discriminant étant négatif, f''(x) est différent de 0 quelle que soit la valeur de x.
Donc f''(x) est toujours positif ou négatif; à toi de vérifier avec f''(0).
Tu en déduiras les variations de f'.
Bon courage.
Sos-math.

Bonsoir
1) si j'ai bien compris il suffit de calculer le delta il est négatif donc la fonction f" est du signe de a donc f" est positive
2) f'(o) = -2 faut il factoriser x( 4x2 -6x +4) -2 si on calcule le delta de 4 x carré -6x +4 il est négatif = -28 peut on en déduire que f' est croissante???
3) f ' (1)= 4-6+4-2=0 donc f' est négative de ] -oo, 0 [ et positive de ]0; +oo[
4) je ne sais pas. Avec la calculatrice f(x) est décroissante de +oo à 4 puis croissante de 4 à +oo un minimum f(1) = 4 mais comment le démontrer???
merci de votre aide

Bonjour,
ta fonction \(f''\) est de signe constant d'après le calcul du discriminant.
Comme le coefficient de \(x^2\) est positif, ce trinôme est du signe de \(a\) donc \(f''(x)>0\) pour tout réel \(x\).
On en déduit que la fonction \(f'\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Comme on a \(f(1)=0\), on en déduit le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\)
Là tu as fait une erreur : la fonction change de signe en \(x=1\) donc elle est négative sur \(]-\infty\,;\,1]\) et positive sur \([1\,;\,+\infty[\).
Ce qui explique que ta fonction est décroissante sur \(]-\infty\,;\,1]\) et décroissante sur \([1\,;\,+\infty[\).
\(f(1)=4\) est donc bien un minimum de la fonction sur \(\mathbb{R}\).
Bonne conclusion

Bonsoir,
en conclusion la fonction f(x) est décroissante sur ]-oo; 4] puis croissante sur [4; +oo[
merci

Bonsoir,
non ce n'est pas bon pour ton intervalle.
Ta fonction est décroissante sur ]−∞;1] et croissante sur [1;+∞[ et 4 est le minimum de ta fonction sur R.

Bonsoir
merci beaucoup pour votre aide
Bonne soirée

A bientôt sur le forum.