points communs à une courbe et à une droite

[Théa]

Bonjour,
j'ai un Dm pour la semaine prochaine de 3 exercices.
le 3è exercice est le suivant:
On considère la fonction f définie sur R\{1} par f(x) = (x²-x-1)/(x-1) (je n'arrive pas à l'écriture sous forme de fraction=

On note Cf la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal.
1) a) Déterminer le réel a tel que pour tout réel ≠ 1, f(x) = x + a/(x-1).
b) en déduire la position de Cf par rapport à la droite D d’équation y =x.
2) Soit m un réel tel que m ≠ 1. Pour chaque valeur de m, on considère la droite Dm d’équation y =mx.
a) Montrer que chercher les points communs à la courbe Cf et la droite Dm revient à résoudre
l’équation du second degré suivante : (Em) (1-m)x²+(m-1)x-1=0.
b) Discuter le nombre de solutions de l’équation (Em) selon les valeurs de m.
En donner une interprétation graphique
la question 1
a) j'ai trouvé que f(x) = x - 1/(x-1) donc pour moi a = -1
b) je déduis que Cf est située de part et d'autre de y = x (c'est a dire de - l'infin jusqu'à 1 Cf est au dessus et de 1 à + l'infini , Cf est en dessous).
est ce que c'est bon? pour l'instant??
Merci de m'aider

[sos-math(28)]

Bonsoir
Il suffit d'étudier le signe de \(f(x)-x\) c'est-à-dire le signe de \(-\frac{1}{x-1}\). Est-ce que c'est ce que tu as fait ?
Remarque pour écrire la fraction \(\frac{x^2-x-1}{x-1}\) il suffit de taper

Code : Tout sélectionner

[TeX]\frac{x^2-x-1}{x-1}[/TeX]

Bon courage pour la suite

[Théa]

Bonsoir
j'ai pas de réponse
mais voici la suite de mon travail

(x²-x-1)/(x-1) = mx produit en croix j'aurai :
x²-x-1 = (x-1)mx ;
x²-x-1 = mx² - mx
d'ou: x²(1-m)+x(m-1)-1 = 0.
cette équation du second degré à pour delta = (m-1)²+4(1-m) = m²-6m +5 .
je n'arrive pas à faire la question 2)b)

SVP help me!!

[sos-math(28)]

Tu as le discriminant de ton équation, s'il est négatif il n'y a pas de solution, s'il est nul il y a une solution unique, s'il est strictement positif il y a deux solutions, il faut donc étudier le signe de ce discriminant suivant les valeurs de m.

[Théa]

Merci beaucoup,

le discriminant de m²-6m +5= 0 est
6²-4*5= 16 >0 donc deux solutions : racine carrée de 16 = 4
m1 = (6+4)/2 = 5 et m2 = (6-4)/2 = 1
et comme m doit etre different de 1 il reste m =5 comme solution
mon équation (Em) devient : -4x²+4x-1 = 0 qui admet 5 comme solution .
je croix que avec votre soutien j'ai réussi mon exercice. Est ce que mon travail est correct??
merci de me répondre.

[sos-math(28)]

Je ne pense pas que tu as compris ce qu'il fallait faire.
En plus tu annonces une énormité : une équation du second degré qui aurait 5 solutions .....
Il faut étudier le signe de ton discriminant (tu as seulement trouvé qu'il s'annule en 1 et en 5) en fonction de m.
Si m appartient à ]\(-\infty\) ; 1[ alors \(\Delta_{-4x^2+4x+1}\)...... donc .......
Si m ......
Si m........ etc.
Relis bien mon message précédent

[Théa]

Ok
mais j'ai jamais dit que l'équation admet 5 solutions (j'ai écrit que l'équation admet 5 comme solution!! (pardon si je me suis mal exprimée=
mon discriminant m²-6m+5 est nul pour 1 et 5
j'ai fait le tableau du signe :
si m appartient à ]-l'infini;1[ ou à ]1;+l'infini[ alors: m²-6m+5 est positif et l'équation admet deux solutions
si m appartient à ]1;5[ alors :m²-6m+5 <0 donc aucune solution de solution
si m = 5 alors m²-6m+5 = 0 et l'équation a une solution.
j'espère que j'ai pas écrit de bêtises!!

[sos-math(28)]

mon équation (Em) devient : -4x²+4x-1 = 0 qui admet 5 comme solution .

Effectivement j'avais lu trop vite mais ce qui était écrit était aussi faux car 5 n'est pas solution de -4x²+4x-1 = 0.
Ton dernier message est correct, reste à traduire en nombre de points d'intersection de la courbe avec la droite.
Je pense que tu as maintenant compris

[Théa]

Bonjour
heureusement que vous êtes là et merci pour tout.
en gros j'ai:
si m appartient à ]-infini;1[ ou ]5;+infini[ la courbe Cf coupe y = mx en deux points
si m appartient ]1;5[ pas de points d'intersection
si m=5 il ya un seul point d'intersection.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Théa,

C'est cela. Et si m=1 ?

A bientôt

[Théa]

vous etes mon sauveur merci i
je croix que m était différent de 1 Non??

[SoS-Math(25)]

Effectivement, je n'avais pas lu le sujet en entier.

A bientôt