une suite auxiliaire

[Mouhoulissou]

Bonjour !

nous avons commencé en classe à faire un type d'exercice sur la notion du suite mais c'est à termine à la maison.
J'aimerai bien que vous m'aidez à la terminer !

Voici l'énoncé :

Soit la suite (Un) définie pour n ≥ 1 par U1 = 0 et pourtout n ≥ 1 U(n+1) = 1/(2 - Un)

1. Sur un tableur, faire afficher les 30 premiers termes de la suite (Un), puis les 30 premiers de 1 /(Un - 1)
voici l'image le tableur :

2. Émettre une conjecture sur une expression de 1 /(Un - 1) en fonction de n. Re = 1 /(Un – 1) = - n
En déduire une conjecture sur l' expression de Un en fonction de n et la tester sur le tableur. Re = Un = (n - 1) / n. ( c'est déjà fait dans le tableur)
3. Démonstration
On pose Vn = 1 /(Un - 1) pour tout ≥ 1
a. Exprimer V(n+1) en fonction de U(n+1) puis de Un.
b. En déduire V(n+1) - Vn. Que peut-on en déduire ?
c. Déterminer Vn en fonction de n puis en déduire Un.

J'aimerai que vous m'aidez pour la Démonstration ! Merci d'avance !

[SoS-Math(25)]

Bonjour,

Où en es-tu dans cette question 3 ? As-tu fait le a) ?

A bientôt !

[Mouhoulissou]

Bonsoir !

Non je ne l'ai pas encore fait puisque j'ai du mal à comprendre;

U(n+1) = 1 /(2 - Un) et V(n+1) = -(n+1) puisque Vn = 1/(Un - 1) = -n ou je me trompe ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Mouhoulissou,

Attention, dans ce que tu as écrit, tu as utilisé ta conjecture .... et tu ne peux pas !

Tu as \(v_n=\frac{1}{u_n-1}\), donc \(v_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}-1}\).

Utilise alors l'expression de \(u_{n+1}\) pour déterminer \(v_{n+1}\) en fonction de \(u_{n}\).

SoSMath.

[Mouhoulissou]

Bonjour !

Nous avons corrigé la partie démonstration en cours mais il y a quelque chose que je n'ai pas compris, sur la consigne (petit a) :
a. Exprimer V(n+1) en fonction de U(n+1)

V(n+1) = 1/ U(n+1) -1 ( on sait que U(n+1) = 1/ (2-Un)
= 1/ [1/ (2-Un) -1]
= 1/ [1/ (2-Un) - 2-Un/2-Un]
= 1/ [1/ (-1+Un/ 2-Un) c'est justement là que je ne comprends pas, d'où vient le signe + là ??
= 1 * 2-Un / -1+Un
V(n+1) = 2-Un / -1+Un

voilà, pour les restes je pense avoir compris !

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Je reprends ce que tu as fait, ton problème vient de l'"oubli" de parenthèses !

= 1/ [1/ (2-Un) - 1]
= 1/ [1/ (2-Un) - (2-Un/2-Un)] Ici cela revient à prendre l'opposé du numérateur
=1/[1/(2-Un)-(2-Un)/(2-Un)]
=1/[1-2+Un/(2_Un)]
= 1/ [1/ (-1+Un/ 2-Un)

Bonne continuation

[Mouhoulissou]

Bonsoir !

Merci beaucoup à vous, je pense avoir bien compris mon erreur !
Je vous en remercie pour tout votre aide !

[sos-math(20)]

A bientôt sur SOSmath !

[Pierre-Alex]

Bonjour
Voila je n'est pas compris comment exprimer V(n+1) en fonction de u(n+1) puis de u(n)
merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Bonjour Pierre-Alex,

Tu as V(n) en fonction de U(n). Tu remplaces n par n+1 et tu obtiendra V(n+1) en fonction de U(n+1).
Ensuite tu connais U(n+1) en fonction de U(n), donc tu remplaces U(n+1) par son expression en fonction de U(n) dans celle de V(n+1).
Ainsi tu obtiendras V(n+1) en fonction de U(n).

SoSMath.

[corentin]

bonjour, pouvez m'aider pour les questions b et c de la démonstration
svp

[SoS-Math(9)]

Bonjour Corentin,

Question b, voici le début du calcul :
\(v_{n+1}-v_n = \frac{1}{u_{n+1}-1} - \frac{1}{u_n-1} = \frac{1}{\frac{1}{2-u_n}-1} - \frac{1}{u_n-1}=...\)
Tu dois trouver \(v_{n+1}-v_n = -1\)
Tu dois alors reconnaître une suite usuelle ...

Question c. Exprime \(v_n\) en fonction de \(n\) (c'est une formule de ton cours).
Puis transforme \(v_n = \frac{1}{u_n-1}\) pour exprimer \(u_n\) en fonction de \(v_n\).

SoSMath.

[rosé]

bonjour je présente quelques difficultés à faire la question 2b je ne sais pas par quoi commencer pour obtenir l'expression finale? j'ai trouvé que 1/(Un)-1 était égal à -n en fonction de n mais devrais-je partir de cette expression? ou je devrais partir d'autre chose?
je ne sais pas si j'ai été assez claire dans mes questions en espérant que ça sera un peu compréhensible !!
merci d'avance
rosé

[rosé]

j'ai aussi un peu de mal avec la question 3b voici le début de calcul que j'ai fait:
Vn+1-Vn= 1/U(n+1)-1 - 1/Un-1
= 1/(1/(2-Un)-1 - 1/Un-1
= 1/(-1+Un)/(2-Un) - 1/Un-1
= 2-Un/-1+Un - 1/Un-1
---> c'est là que je bloque: est-ce que je mets sur un dénominateur commun ou bien à partir de Un (de la question précédente) je remplace l'expression? si c'est la deuxième proposition je suis un peu bloquée car je n'ai pas réussi à trouver Un en fonction de n (question 2b)?
merci d'avance encore une fois!

[sos-math(21)]

Bonjour,
\(v_{n+1}-v_n = \frac{1}{u_{n+1}-1} - \frac{1}{u_n-1} = \frac{1}{\frac{1}{2-u_n}-1} - \frac{1}{u_n-1}=...\)
En multipliant la première fraction par \(2-u_n\), on a :
\(v_{n+1}-v_n = \frac{1}{u_{n+1}-1} - \frac{1}{u_n-1} = \frac{2-u_n}{1-(2-u_n)} - \frac{1}{u_n-1}=\frac{2-u_n}{u_n-1} - \frac{1}{u_n-1}=\dfrac{2-u_n-1}{u_n-1}=\dfrac{-u_n+1}{u_n-1}=...\)
Bonne continuation