Des problèmes du second degré

[Paul]

ÉNONCÉ : (http://freddygau.free.fr/1STI/coursseconddegre1sti.pdf)
Activité 2 : Des problèmes du second degré sur un terrain de golf
Une balle de golf est frappée avec une vitesse initiale : (vecteur)v qui forme un angle α avec l’horizontale. On appelle y la hauteur atteinte par
la balle quand celle-ci est située à une distance x du point où elle a été frappée, distance mesurée au sol ( voir figure ci-dessous)
On admet que la balle décrit une parabole d’équation : y = -g / 2(v cos α)² * x² + tan α x
où g est l’accélération de la pesanteur et v est la norme de (vecteur)v.
On prend ici g = 10 m.s-1, v = 50 m.s-1 et α = π/4 rad
1) Déterminer l’équation de la parabole décrite par la balle.
2) Quelle est la hauteur atteinte par la balle quand elle se trouve à une distance x = 20 m de l’endroit où elle a été tirée ?
3) A 35 m du point de départ de la balle se trouve un arbre, dont la hauteur est égale à 25 m. La balle passera-t-elle au dessus de
l’arbre ?

4.a) Factoriser (- 1/250) * x² + x
b) Résoudre l’équation : (- 1/250) * x² + x = 0
c) A quelle distance x de l’endroit où elle a été tirée, la balle retombera-t-elle ?
5.a) Vérifier que le forme factorisée de (- 1/250) * x² + x– 62,5 est (– 1/250) * ( x – 125 )²
b) Résoudre l’équation (- 1/250) * x² + x – 62,5 = 0
c) Montrer que la balle atteint la hauteur de 62,5 m et préciser à quelle distance x de son point de départ elle se trouve alors.
Expliquer enfin pourquoi cette hauteur est la hauteur maximale atteinte par la balle
6) Traduire chacune des questions suivantes par une équation ou une inéquation qu’on ne demande pas de résoudre :
a) A quelles distances x de son point de départ la balle est-elle située quand elle est à la hauteur de 40 m ?
b) Pour quelles distances x du point de départ la hauteur de la balle est-elle au-dessus de 50 m ?

Aide :
Pour le 1) : J'ai écrit la parabole d'équation en remplaçant les lettres/symboles par des valeurs , j'ai obtenu : (-10/2*(50* racine de 2"/2)²) * x²+x .
J'ai également continuer a simplifier ce calcul pour obtenir le fameux : (- 1/250) * x² + x .

Pour le 2) J'ai trouvé 460/25 soit 18.4 .
Pour le 3) j'ai calculé pour x= 35 afin de savoir si au bout de 35 m la balle a une hauteur de plus de 25m . J'ai trouvé 30.1 .
Pour le 4) a) J'ai factorisé et j'ai trouvé : x*(-1/250 *x +1) . X en facteur donc et le 1 pour retrouver le "x" .
Pouvez vous me dire si , jusque là mes résultats sont corrects ?
b) Je bloque a ce moment . (- 1/250) * x² + x = 0
Si je fais passer le (-1/250)*x+x de l'autre coté en l’ajoutant des deux côtés donc , je me retrouve avec : x = (1/250) *x . Je ne suis pas sur de ce résultat , quand bien même il soir juste , je reste bloqué . Bien que 0 soit une des solutions .

Merci de m'avoir lu .

[sos-math(21)]

Bonjour,
tes réponses sont correctes jusqu'à la 4a.
Pour la 4b il faut se servir de la forme factorisée : résoudre \(\frac{-1}{250}x^2+x=0\) revient à résoudre \(x\left(\frac{-1}{250}x+1\right)=0\).
tu obtiens alors une équation produit nul : un produit de deux facteurs est nul si l'un des deux facteurs est nul.
Je te laisse poursuivre,
Bon courage

[Paul]

Merci .
Etant donné que lors d'un produit de deux facteurs , si l'un est nul , le résultat est négatif ...
x*(-1/250 *x+1) : forme factorisée .
x=0
ou (-1/250)*x+1=0
(-1/250)*x=-1
-0.004*x=-1
x=-1/-0.004 .
x=250 .
S={0;250} .
Je pense ne pas m'être trompé . Merci de m'avoir ouvert les yeux pour cette question.
Passons donc à la 4)c)
Pour savoir quand la balle retombe , il faut que l'image soit égale a 0 . Hors , l'équation précédente nous montre qu'elle est égale a 0 dans deux cas , lorsque l'abscisse est égale à 0 , donc lorsque la balle n'as pas encore était frapée , mais aussi a 250m. On peut donc en déduire , que la balle retombera au bout de 250 m . Est-ce correct ? J'ai peur pour la rédaction plus qu'autre chose ...
5)a) : Je crois bien l'avoir réussi ,
= (–1/250)*(x–125 )²
= (–1/250)*(x²-250x+15625) Ensuite je distribue le (-1/250) :
= (-1/250)*x² + 250x/250 -15625/250
= (-1/250)*x² + x -62.5 .
On vient donc de prouver que la factorisation de l'énoncé est correcte .
b)Décidément je galère pour les équations ... Je ne vois pas comment opérer .
Merci !

[SoS-Math(25)]

Bonjour Paul,

Pour la 4b) c'est correct. Une petite précision : "lors d'un produit de deux facteurs , si l'un est nul , le résultat est...?"

4c) et 5a) c'est très bien.

Pour la 5b), il suffit de reprendre la même idée que la 4b) en utilisant la forme factorisée.

Bon courage !

[Paul]

Super ! J'ai réussi à trouver , les solutions sont 0 ou 125 , j'ai fais un calcul incroyablement long mis bon , le résultat est présent ...
Pour la 5) c) : L'equation précédente monter que la balle a atteint 62,5 m de hauteur au bout de 125 m mais je ne sais pas comment justifier cela ...
Merci encore

[SoS-Math(25)]

En regardant le signe de (–1/250)*(x–125 )², tu dois pouvoir constater quelque chose...

Bon courage !

[Pierre]

Je ne comprends pas :s ...

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu as résolu l'équation \({-}\frac{1}{250}x^2+x-62,5= 0\) qui est équivalente à \({-}\frac{1}{250}x^2 + x=62,5\), c'est-à-dire \(f(x)=62,5\)
Résoudre cette équation t'a donc permis de trouver des antécédents de 62,5 par la fonction, il te reste à traduire cela dans le contexte de l'énoncé.
D'autre part tu as montré que \(f(x)-62,5={-}\frac{1}{250}x^2+x-62,5=-\frac{1}{250}(x-125)^2\).
Quel est le signe de \(f(x)-62,5\) ? Reprends le message de mon collègue et tu auras la solution.
Bon courage

[Pierre]

Merci . Etant donné que f(x) est une parabole . J'ai précédemment démontré que au bout de 250m , la balle retombait au sol . Pour savoir quelle est donc la hauteur maximale de la balle il suffit de diviser cette distance par 2 : 250/2=125 , car c'est une parabole . Donc , la hauteur maximale de la balle a lieu au bout de 125m et a hauteur est de 62,5m . La hauteur maximale de la balle est donc de 62,5m . Est-ce correct ?

Pour le 6) a) et b) . Je pense qu'il faut sois étudier le sens de variation , soit le signe de la fonction mais je vois pas comment opérer . Merci !

[sos-math(21)]

Bonjour,
on peut faire comme cela, effectivement mais il faut connaître les propriétés des paraboles.
Pour les autres questions, il s'agit de traduire avec des écritures littérales de la forme \(f(x)=...\) ou \(f(x)\leq...\) ou \(f(x)\geq...\)
Bon courage

[Pierre]

6)a) f(x) = 40 .
b) f(x) < 50 .
Est-ce correct ?

[sos-math(21)]

Cela me parait correct.
Bonne continuation

[Erwan]

Bonjour pouvez vous m'aider pour la question deux j'ai vue le résultat mais je ne sais pas comment vous l'avez eu ? Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta fonction \(f\) donne la hauteur de la balle en fonction de son éloignement du joueur.
Donc il s'agit ici de calculer l'image de 20 par la fonction \(f\), ce qui revient à remplacer \(x\) par 20 dans l’expression de \(f\).
Je te laisse faire ce calcul.

[Rémi]

Bonjour, je ne comprends pas comment paul a réussi a faire pr trouver à la question 3 et 4a
Pouvez-vous m'expliquez ?
Merci