DM 1ère S

[Invité]

Bonjour,
J'ai un petit problème avec un exercice de maths et j'aurai besoin d'aide svp.

[AB] est un segment de longueur a et M un point variable de [AB]. D'un même côté de (AB) on construit les triangles rectangles isocèles AMP et BMQ d'hypoténuses [AM] et [BM].
Si AM = x et si BM = y, donner en fonction de x et y, PM² et QM².
J'ai utilisé le théorème de Pythagore et j'ai trouvé PM² = x²/4 et QM² = y²/4
Calculer l'aide du quadrilatère ABQP en fonction de x et y et montrer qu'elle est égale à f(x) = 1/4 (x² - ax + a²).
J'y suis arrivée.
Déterminer x pour que cette aire soit minimale et donner son minimum.
Je n'y arrive pas. Je suppose qu'il faut partir de f(x) et faire une inéquation, mais je ne trouve pas laquelle.

Merci d'avance pour votre aide.

[SoS-Math(9)]

Bonjour,

Tout d'abord tu as fait une petite erreur ... PM² = x²/2 et non PM² = x²/4.

Ensuite tu as trouvé f(x) = 1/4 (x² - ax + a²) et tu veux un minimum.
Or f est un polynôme du second degré donc tu connais (voir ton cours) ses variations et donc son minimum (ou maximum).

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

Oui pardon, en effet, je me suis trompée en recopiant, j'avais bien trouvée x²/2.


f(x) = 1/4 (x² - ax + a²)

Un polynôme du second degré est sous la forme ax² + bx + c.
Lorsque a > 0, la courbe est d'abord décroissante puis croissante et le minimum est de -b/2a.
Lorsque a <0, la courbe est croissante puis décroissante et le maximum est de -b/2a.
Or là, il y a deux inconnues qui sont au carré (x et a) donc je ne sais pas quel coefficient est a.
Je suppose que a est positif comme on nous demande le minimum et que ce sont des longueurs ...

[SoS-Math(9)]

Petit Rappel : "Merci de bien vouloir signer votre message par votre prénom"

Attention à ne pas confondre le a du polynôme ax² + bx + c, avec le a du polynôme 1/4 (x² - ax + a²) ...

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

a > 0 donc Cf est une parabole tournée vers le haut.
Le minimum est donc -b/2a. J'ai trouvé qu'il est égal à a/2.
Et que donc la valeur de l'aire minimale est de a²/16.

Marie.

[SoS-Math(9)]

Marie,

Dans ax² + bx + c le nombre a est le coefficient de x².
Dans f(x) le coefficient de x² est ... (ce n'est pas a).

Oui tu as raison f(x) est minimum pour x=a/2, mais f(a/2) \(\neq\) a²/16.

Courage,
SoSMath.

[Invité]

f(a/2) = 3a²/16 ?

Et le coefficient de x², je pense que c'est 1.

Marie.

[SoS-Math(9)]

Marie,

Tu as raison pour f(a/2), mais le coefficient de x² est 1/4.
Pour le trouver il faut dévlopper f(x).

SoSMath.

[Invité]

Merci mille fois pour toute votre aide.

Marie.

[SoS-Math(8)]

De rien.