SOS-MATH

Bonjour.
J'ai un devoir maison à faire mais je n'arrive pas à toutes les questions.

Soit la fonction f telle que f(x) = -x² + 3x et pour tout réel m, soit Dm la droite d'équation y = mx + 3 - 2m et soit (O, i, j) un repère orthogonal tel que ||i|| = 2 cm et ||j|| = 1 cm.
(Les i et les j sont des vecteurs.)
1) a) Dresser le tableau de variation de f et tracer la courbe P de f dans (O, i, j).
J'y suis arrivée.
b) Vérifier que, pour tout réel m, Dm passe par le point A de coordonnées (2 ; 3).
J'y suis arrivée.
2) a) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de P et de D2.
J'y suis arrivée.
b) Montrer que la droite D-1 n'a pas d'intersection avec la parabole P.
J'y suis arrivée.
3) Montrer qu'il existe deux réels m1 et m2 tels que Dm et P aient un unique point d'intersection. Préciser les coordonnées des points de contact M1 et M2 correspondants et tracer Dm1 et Dm2.
J'ai trouvé m1 = -3 et m2 = 1 mais je n'arrive pas à trouver les coordonnées.
4) a) Déterminer les réels m pour que Dm coupe P en deux points M' et M" d'abscisses x' et x".
b) Cette condition étant réalisée, calculer en fonction de m l'abscisse du milieu K de [M'M"].
c) Exprimer alors yK en fonction de xK et en déduire que K appartient à la parabole P' d'équation y = -2x² + 7x - 3.
Je suis bloquée que l'ensemble de la question 4.

J'espère que quelqu'un pourra m'aider.
Merci d'avance.

Bonjour
vos deux valeurs 1 et -3 sont justes.
Pour trouver les coordonnées, vous devez utiliser la même méthode que dans les questions précédentes.
Vous cherchez les points d'intersection de P et D1 puis de P et D-3.

Pour vous aider dans la 4) dites moi comment vous avez trouvé 1 et -3.

J'attends votre réponse.

Merci pour votre réponse.
J'ai compris comment il fallait faire pour la 3).

Pour trouver -3 et 1, à la 3 j'ai fait :
-x² + 3x = mx + 3 - 2m
-x² + 3x - mx - 3+ 2m = 0
-x² + (3-m)x + 2m - 3 = 0
J'ai calculé le discriminant delta qui est égal à 2m + m² -3 : cela doit être égal à 0 pour qu'il n'y ait qu'un point d'intersection.
Ensuite j'ai calculé le discriminant de 2m + m² -3 qui est égal à 16, soit 4².
Il y a deux solutions : m1 = -3 et m2 = 1.

Pour que l'équation ait deux solutions, il faut que son discriminant soit positif donc vous devez trouvé l'ensemble des valeurs de m pour lesquelles 2m + m² -3 >0

L'abscisse du milieu de MM' est la demi-somme des solutions de l'équation -x² + (3-m)x + 2m - 3 = 0

A vos crayons

Merci pour votre aide.
Pour la question a), j'ai trouvé ]-l'infini;-31;+l'infini[.
Et pour la b), j'ai trouvé que l'abscisse de K est égale à 2, est ce correct ?

Pour le a) c'est juste
Pour le b) vous avez calculé la somme des solutions de m²+2m-3 = 0 au lieu des solutions de l'équation
-x² + (3-m)x + 2m - 3 = 0

Encore un petit effort

J'essaye de calculer delta pour trouver les solutions de l'équation mais je m'en sors pas.
J'en suis à Delta = (3-m)² - 12
Dois je transformer en (3-m)² - (2√3)² et ensuite utiliser l'identité remarquable ?
Ou dois je utiliser une autre méthode ?
Encore merci.

Vous n'avez pas besoin de calculer delta
Ecrivez la formule générale des deux racines puis faites la somme des deux, vous verrez que dans le résultat il n'y a plus delta

si on appelle x1 et x2 les deux racines de ax² +bx +c vous avez x1 +x2 = -b/a

J'ai trouvé que l'abscisse de K est de (3-m)/2.
Encore merci pour toute votre aide.

Pour la c), m = 3 - 2xK et yK = (3 - 2xK)xK + 3 - 2 (3 - 2xK), c'est bien cela ?
Cependant, je ne comprends pas le rapport avec l'équation de la parabole P' ...

Xk est juste mais pour trouver Yk, n'oubliez pas que M et M' sont sur Dm donc K aussi donc Yk = mXk + 3 - 2m

Quand vous avez trouvé les coordonnées de K, vérifiez que Yk = -2(Xk)² + 7(Xk) - 3.
Encore un petit effort, vous arrivez au bout !

J'ai trouvé que yK = -1/2m² - 1/2m +3
Et en réduisant yK = (3 - 2xK)xK + 3 - 2 (3 - 2xK), je trouve en effet que yK = -2(yK)² + 7(xK) - 3.

Merci pour toute votre aide, qui m'a été très précieuse !!

Votre persévérance est récompensée. Vous avez terminé.
A bientôt.