Dérivé ?

[Lola]

Bonjour j’ai un exercice en maths à faire mais je ne sais pas comment je dois faire. Pouvez-vous m’aider s’il-vous-plaît ?
Le voici ci-joint.
Je vous remercie en attente de votre réponse.

[SoS-Math(34)]

Bonjour Lola,

Peux-tu me dire ce que tu as déjà fait pour que je puisse t'aider?
Quelles pistes as-tu essayées?

Sosmaths

[SoS-Math(34)]

PS : Le fichier geogebra suivant te permettra déjà de conjecturer une valeur approchée de a.

[SoS-Math(34)]

Pour la démonstration, je te conseille dans un premier temps de déterminer les coordonnées de A et de B, puis des sommets de ton triangle en fonction de a : pour cela, tu auras besoin des équations des tangentes en A et en B à la parabole.

Bonne recherche
Sosmaths

[lola]

Justement je ne vois vraiment pas comment commencer :(.

Bonne soirée.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Lola,

Une idée première idée, la droite (SC) est tangente à la parabole. Essaye de calculer l'équation de la droite 5SC) en fonction de a. Ainsi, tu pourras déterminer les coordonnées de S et de C en fonction de a.

Bon courage !

[lola]

Bonjour,

J'ai essayé de trouver l'équation, j'ai donc fais:
y= 1-x2
y= -2x

y= f'(a)(x-a)+f(a)
y= -2a (x-a)+ 1-a2
y= -2ax+ 2a2+ 1- a2
y= -2ax- a2+ 1

(f'(a)= y=-2x y= -2xa y=-2a)
(f(a)= y= 1-x2 y= 1-a2)

Mais je ne pense pas que ça soit cela !

[SoS-Math(33)]

Bonjour Lola,
il y a une petite erreur de signe dans le calcul de l'équation de la tangente :

Bonjour,
y= -2ax+ 2a2+ 1- a2
y= -2ax + a2+ 1

Maintenant il te faut calculer les coordonnées de S et de C.
Tu sais déjà que \(x_S\)=0 il te faut donc calculer \(y_S\) avec l'équation de la tangente.
Tu sais déjà que \(y_C\)=0 il te faut calculer \(x_C\) avec l'équation de la tangente.
Ensuite il te faudra calculer les longueurs DC et SC et résoudre l'équation DC=SC pour trouver la valeur de a pour laquelle le triangle est équilatéral.
Je te laisse faire les calculs
Bon courage.

[lola]

Pour les coordonnées de S on a:
y= -2ax+a2+1
y= -2x0+02+1
y= 1
donc S(0;1)

Pour les coordonnées de C on a:
y= -2ax+a2+1
-2ax+a2+1=0
-2ax+a2=-1
-2ax+√a=-1
-2x=-1
x= 0.5 ou x=-0.5
donc C(0.5 ou -0.5; 0)

Est-ce les bonnes coordonnées ?

Par contre je ne vois pas comment faire pour la suite.

[SoS-Math(33)]

Attention lola,
tu fais une confusion. Pour S c'est \(x_S\) qui est égale à 0 et pas a.
Tu as ainsi : \(y_s = -2a\times 0 + 1 + a^2 = 1 + a^2\) d'où \(S(0 ; 1+a^2)\)
Et pour \(y_c\) tu dois résoudre l'équation suivante \(0 = -2ax_c + 1 + a^2\)
Je te laisse reprendre le calcul.
Pour le calcul des longueurs regarde bien le schéma qui est dans un message précédent, ça va t'aider.

[lola]

Pour C je trouve alors:

-2axc+1+a2=0
-2axc+a2=-1
-2axc+√a=-1
-2axc=-1-√a
xc= -1-√a/-2

donc les coordonnées sont C(-1-√a/-2;0) ?

Est-ce que pour trouver la distance il faut que j'ai les coordonnées des points S et C ?

[SoS-Math(33)]

Pour C je trouve alors:
-2axc+1+a2=0
-2axc+a2=-1
-2axc+√a=-1 pourquoi √a ?
-2axc=-1-√a
xc= -1-√a/-2

-2axc+1+a2=0
2axc = 1 + a²
xc = (1 + a²)/2a

Maintenant il te faut calculer les distances.

[lola]

Pour trouver les longueurs de DC et SC:

comme c'est un triangle équilatéral on sait que SC=CD=DS.

Et donc abscisse de C est l'opposé de l'abscisse de D, il suffit de multiplier par 2 abscisse de C:

CD= (1+a2)/2ax2
CD= (2+2a2)/4a

Donc les longueurs de DC et SC sont (2+2a2)/4a ?

[SoS-Math(33)]

Il faut calculer les longueurs et les comparer pour justifier que le triangle est équilatéral.
Pour CD tu as (1 + a²)/a ensuite tu sais que SC = SD mais tu dois calculer SC ou SD pour conclure.

[lola]

SC= 0-1+a2/(1+a2)/2a-0
SC= 1+a2/1+a2/2a
SC= 1+a2/2a

Est-ce comme ça ?