Géométrie plane, vecteurs.

[sos-math(13)]

Bonjour,

quand je lis :
\(\widevec{AP}=a\widevec{AB}\) je m'attends à trouver A, P, B alignés.
Ce n'est pas le cas sur la figure.

[Martine]

Bonjours

J'ai mis les points puis j'ai marquer vecteur dans la barre de saisi pour AB , AC, BC
Ensuite j'ai fait translation pour les 3 points et ça ma donner ça je comprend pas ou est mon erreur alors ?

[sos-math(13)]

Regardons le protocole de construction d'un peu plus près :

P : image de C dans la translation de vecteur w1.
Je traduis : \(\widevec{CP}=\vec{w_1}\)
Or \(\vec{w_1}=a\times\vec{w}\) et \(\vec{w}=\widevec{BC}\)

Soit \(\widevec{CP}=a\times\widevec{BC}\)

Ce qui n'est pas indiqué dans l'énoncé, et qui explique que C, P, B soient alignés.

Il faudrait revoir la construction (la reprendre depuis le début en respectant les consignes).

Bon courage.

[martine]

Voici ce que j'ai fait. J'ai tout repris a zero et j'ai repris le protocole voici le resultat

[sos-math(27)]

Bonsoir Martine,
Votre construction n'est toujours pas exacte :
les points A, P, B doivent être alignés ; de même pour C, A, Q et C, R, B

En fait, vous vous êtes trompée entre les vecteurs dans la construction des points P, R, Q
J'ai fait une version corrigée avec les points P', R', Q'

Vous verrez que la valeur pour laquelle les points sont alignée n'est pas celle que vous proposiez.
Pour la démonstration, il faut utiliser la relation de CHasles pour écrire les vecteurs \(\overrightarrow{PQ}\), ainsi que \(\overrightarrow{PR}\)
en fonction des seuls vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\)
par exemple (comme si on était dans le repère (A, \(\overrightarrow{AB}\) , \(\overrightarrow{AC}\) ), pour ensuite écrire la condition de colinéarité des vecteurs.

Il y a peu être un raisonnement moins long, je continue de réfléchir. Bon courage

[martine]

A d'accord je vient de comprendre
En effet a =0.33
Mais pour la suite je ne sait pas du tout
Faut il prendre les coordoner xp ,yp ou xq , yq

[sos-math(27)]

Il ne s'agit pas vraiment d'un repère, mais cela revient un peu au même : pour identifier la colinéarité, il faut observer si les vecteurs sont multiples l'un de l'autre.
Commencez par écrire par exemple :
\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CQ}\)

Et remplacez par ce que vous connaissez dans les hypothèses, il faut obtenir une égalité où on ne retrouve QUE les vecteurs \(\overrightarrow{AB} ~et ~ \overrightarrow{AC}\)

Vous recommencerez avec \(\overrightarrow{PR}\) par exemple
Bon courage

[martine]

Bonjours ,

Bon j'ai reflechie et j'ai fait ca : il y a des fleches pour les vecteur bien sure
PQ= PA+AC+CQ
PQ= -AP+AC+aCA
PQ= -aAB+AC+aCA
PQ= aAB+AC+aCA
PQ= aAB+AC-aAC
PQ=aBA+(1-a)AC

Ensuite j'ai fait pour RP ca donne


RP= RC+CP
RP= -aBC+CP
RP= -aBC+CQ+QP
RP= -aBC+aCA+QP
RP= aCB+aCA+QP
RP= aCB+aCA+aBA+aCA+AC
RP= (2a-1)CA+a(CB+BA)
RP= (2a-1)CA+aCA
RP= (3a-1)CA

Donc pour PR ca donne :

PR= (3a-1)AC

Est c que mon raisonnement est juste et si oui je ne comprend pas comment relier PR et PQ
merci

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Cela me semble correct pour \(\vec{PQ}\).
En revanche, pour l'autre vecteur, il semble qu'il y ait une erreur dans la réutilisation de la première relation :
RP= aCB+aCA+QP
RP= aCB+aCA+aBA+aCA+AC : ici \(\vec{QP}=-\vec{PQ}={\color{red}-a\vec{BA}}-(1-a)\vec{AC}\) : il y a un problème avec le signe du coefficient de \(\vec{BA}\).
Sinon, il y aurait plus rapide en partant de \(\vec{PR}=\vec{PA}+\vec{AC}+\vec{CR}\).
Reprends cela.

[martine]

Alors j'ai refait pour PR et sa donne a la fin

PR= a(-2AB+AC)+AC

Est ce juste ?? svp

[martine]

Bonjours

J'ai essayer de faire avec PR= PA+AC+CR

et j'ai trouver comme resultat :

PR= a(-2AB+AC)+AC

Est ce juste ? svp
merci

[Martine]

Bonjour ?

J'ai essayer de calculer le vecteur PR et sa me donne ça a la fin

PR= a(-2AB +AC ) + AC

Est ce juste et si ça l'est que dois-je faire ensuite ?
Merci

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Martine,

Ta proposition me semble juste. Tu as donc :
\(\vec{PR}=-2a\vec{AB}+(1+a)\vec{AC}\) et \(\vec{PQ}=-a\vec{AB}+(1-a)\vec{AC}\)

Si tu te places dans le repère (A;\(\vec{AB};\vec{AC}\), quelles ont les coordonnées de \(\vec{PR}\) et de \(\vec{PQ}\) ?

Reprends la propriété liée à la colinéarité des vecteurs et tu devrais pouvoir finir.

Bon courage.

[Martine]

Désolé mais je ne comprend pas comment je peu trouver les coordonne de PQ et de PR avec le repère A;AB;AC

J'ai posé :

A( 0,0)
AB(1,0)
AC(0,1)

Mais je ne sais pas comment m'y prendre pour la suite

[sos-math(21)]

Bonsoir,
je te rappelle juste une chose sur les coordonnées et les vecteurs :
Dire qu'un point M a pour coordonnées \((x\,;\, y)\) dans un repère \((O,\vec{i},\vec {j})\) signifie que \(\vec {OM}=x\vec{i}+y\vec {j}\).
À toi d'utiliser cela pou obtenir les coordonnées des points dans le repère proposé.
Bon courage