Proba jeux

[Joan]

Bonjour,
j'envoi un message pour savoir si quelqu'un peu corrigé cet exo svp?
Je prépare un oral en fait.
Pour l'instant voici ce que je pense des réponses de chaque élève:
E1(élève 1) X suit la loi de paramètre B(1000,1/3) je suis d'accord.
Ensuite "d'après la calculette" ,je ne vois pas l'intérêt de cette remarque qui plus est est fausse.
Si la moitié des gens gagne, l'organisateur perd(il perd des que + d'un tier des gens gagne).
E2:Le tableur semble être une bonne idée, il aurait peut être dû faire plusieurs simulation.
E3 c'est presque bon .
Il calcule l'espérance on dirait.
Ce que j'avais obtenu en faisant (-5)*(2/3)+15*(1/3) mais il doit manquer quelque chose.

SUJET 9 :
Thème : probabilités
L'exercice
Dans une fête foraine, un jeu de hasard est proposé aux visiteurs.
Pour chaque partie, la participation est de 5 euros.
Une partie consiste à lancer un dé à six faces, numérotées de 1 à 6 . Pour un résultat supérieur ou égal à 5 , le joueur reçoit 15 euros, sinon il ne reçoit rien.
1. L'organisateur espère qu'il y aura au moins 1000 parties de jouées. Peut-on penser qu'il gagnera de l'argent?
2. À la fin de la journée, l'organisateur fait ses comptes : il constate que 2000 parties ont été jouées et il a amassé 2650 euros de gain.
a) Combien de parties ont-elles été gagnées par les joueurs ?
b) Peut-on considérer que le dé est équilibré ?

Les réponses de deux élèves :
Élève 1

Je suppose qu'il y a exactement 1000 parties jouées, et je nomme $X$ le nombre de parties gagnées par les joueurs.
$X$ suit la loi binomiale $B\left(1000, \frac{1}{3}\right)$. D'après la calculatrice, $P(X \leqslant 500) \approx 1$
On est à peu près sûr que plus de la moitié des parties seront perdues par les joueurs. L'organisateur devrait donc gagner de l'argent.
Élève 2

Avec un tableur, j’ai réalisé une simulation de 1000 parties. J'ai obtenu 345 parties gagnées.
$\frac{345 \times 10-655 \times 5}{1000}=0,175 \text {. }$

En moyenne, je trouve un gain de 0,17 euro par partie pour le joueur.
L'organisateur ne va donc pas gagner d'argent.
Élève 3

Je suppose qu'il y a exactement 1000 parties jouées. La probabilité de gagner est de $\frac{1}{3}$.
On a donc environ $\frac{1}{3} \times 1000$ parties de gagnées.
L'organisateur devrait gagner : $1000 \times 5-\frac{1}{3} \times 1000 \times 15=0$.
Le travail à exposer devant le jury
1- Analysez la réponse des trois élèves en mettant en évidence leurs compétences dans le domaine des probabilités.
2- Proposez une correction de la deuxième question telle que vous l'exposeriez devant une classe de première scientifique.
3- Présentez deux ou trois exercices sur le thème probabilités, dont l'un au moins s'appuiera sur une simulation.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Joan,

Pour l'élève 1, le fait que la moitié des parties seront perdues par les joueurs n'indique pas que l'organisateur gagne de l'argent ...
En effet par exemple, si 500 parties sont perdues cela va rapporter 5*500 = 2500 euros et si les 500 autres sont gagnées alors l'organisateur va perdre (15-5)*500 = 5000 euros, donc au final il y aura une perte de 2500 euros ...

Pour l'élève 2, il aurait pu faire plusieurs simulation et constater qu'en moyenne le gain est nul ...

Pour l'élève 3, c'est effectivement l'espérance qu'il faut calculer ... mais avec les bons chiffres.
Pour cela il faut introduire la variable aléatoire X qui compte le gain pour l'organisateur : soit le joueur perd et cela rapport 5 euros à l'organisateur avec une probabilité de 2/3 soit joueur gagne et l'organisateur perd 10 (le joueur a donné 5 et il reçoit 15) avec une probabilité de 1/3.
Donc le gain moyen de X est son espérance : E(X) = 5*2/3 + (-10)*1/3 = 0 (cela confirme la simulation de l'élève 2).

Bon courage,
SoSMath.