Arbre pondéré valide ou non ?

[Marie-Sophie]

Bonjour,

j'ai un sérieux doute sur la validité de l'arbre pondéré, dans l'exemple à la fin de la page 286 de ce manuel :
https://www.calameo.com/read/000596729923535cd3427

En essayant d’exposer le problème par le calcul :
P(D barre) = P(D barre inter A) + P(D barre inter C)
P(D barre) = P(D barre sachant A) * P(A) + P(D barre sachant C) * P(C)
P(D barre) = 0.6 * 0.7 + 0.5 * 0.2
P(D barre) = 0.42 + 0.1 = 0.52
Or, P(D) = 0.38
Donc P(D) + P(D barre) = 0.9 …

Qu’en pensez-vous ?

[SoS-Math(31)]

Bonjour Marie-Sophie,
A, B et C forment une partition des l'univers alors P(D barre) = P(D barre inter A) +P(D barre inter B) + P(D barre inter C)
Il faut considérer E, F et G incompatibles avec D donc ces trois événements sont dans D barre. Ainsi P(D barre inter B) = 0,1 à ajouter aux 0,52. Alors P(D barre) = 0,62. On obtient ainsi P(D) + P(D barre) = 0,38+0,52 = 1

[Marie-Sophie]

Merci pour votre réponse ; mais selon les propriétés d’un arbre pondéré, listées sur cette même page 286 :
« la probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement ».
Les seuls chemins conduisant à D barre sont ceux qui passent par A et par C. Donc si on applique cette propriété sur cet arbre :
P(D barre) = P(D barre inter A) + P(D barre inter C)

[SoS-Math(31)]

Oui, mais si E, F et G sont incompatibles (ou disjoint) avec D alors ils sont dans D barre.
L'arbre peut-alors se transformer

arbrls.pdf

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[Marie-Sophie]

Mais comment peut-on être sûr que E, F, G sont incompatibles avec D?

[Marie-Sophie]

Mais comment peut-on être sûr que D soit incompatible avec E, F et G ?

[SoS-Math(35)]

Bonjour,

si je comprends bien ta première interrogation c'est que P(D) + P( D barre) est égale à 0.9 et tu pensais que cela devait faire 1?

Attention à ne pas oublier les autres chemins de l'arbre : il y a aussi P( E sachant B), P( F sachant B), P ( G sachant B). Les 3 chemins ont pour somme 0.1.
Ajoutons cette valeur à 0.9 et on retrouve bien 1

Sos math.

[Marie-Sophie]

Bonsoir
par définition, Dbarre, l'événement contraire à D, est composé de toutes les issues de Omega qui ne sont pas dans D.
Donc D union Dbarre = Omega, et P(D) + P(Dbarre) = 1.
N’est-ce pas ?

[SoS-Math(31)]

Oui, D barre est composé de toutes les issues de oméga qui ne sont pas dans D. Pour que E soit dans D barre, il ne doit pas avoir d'intersection avec D donc être incompatible (ou disjoint) avec D.
Je suis d'accord avec toi, dans l'exemple rien ne dit explicitement que E, F et G sont incompatibles avec D. C'est un sous-entendu qui aurait du être clairement dit.
En tenant maintenant compte de cette nouvelle donnée, reprends l'arbre. Voir pièce jointe.

[Marie-Sophie]

Bonjour,
Pour qu’un arbre de probabilités soit valide, il faut que l’on puisse lui appliquer directement les règles de calcul listées sur cette même page 286, en particulier :
« la probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement ».
Cette règle ne dit pas :
« la probabilité d’un événement A est égale à la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement A et des chemins conduisant à tout événement inclus dans A ».
Si l’énoncé disait que D est incompatible avec E, F, G, je serais d’accord avec la transformation que vous avez effectuée et postée en pièce jointe ; et ce nouvel arbre est en effet valide.
Mais même si cette donnée supplémentaire figurait dans l’énoncé, l’arbre tracé dans ce manuel à la fin de la page 286 ne permet pas l’application directe des règles de calcul propres aux arbres de probabilités, et de ce fait, n’est pas valide.
Un arbre de probabilités est une représentation graphique formelle qui doit satisfaire certaines conditions permettant des calculs clairs et sans ambiguïté. On ne doit pas avoir à se demander, pour les événements en bout d’arbre : « est-ce que j’ai des morceaux de Dbarre disséminés dans les autres événements, ou pas » ?
Et justement, j’étais en train d’essayer de clarifier des conditions à remplir (qui ne figurent pas dans ce manuel) pour qu’un arbre de probabilités soit valide, et permette d’appliquer directement les règles de calcul listées dans ce manuel.
Il me semble que l’une de ces conditions, c’est que tous les événements en bout d’arbre doivent être soit incompatibles, soit identiques. Qu’en pensez-vous ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
je suis d'accord avec ton argumentation.
Un arbre de probabilité sous-entend que l'on manipule un système complet d'événements (une partition de l'univers) et l'arbre, tel qu'il est représenté dans ce manuel, n'est pas une bonne représentation des situations habituelles.
Je ne comprends pas ce que viennent faire ces événements E, F, G dans la situation et on ne connait pas leur intersection avec \(D\) et \(overline{D}\), donc il est impossible de faire des calculs complets et exacts.
À partir du moment où il y a une ambiguïté, plusieurs interprétations sont possibles et il n'y a pas, a priori, de solution incontestable.
Peut-être peux-tu contacter les auteurs du manuel pour leur demander des précisions.
Bonne continuation