Approximations affines

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Fredy

Approximations affines

Message par Fredy » sam. 8 janv. 2022 18:38

Soit f (x)=√x et on pose x=h+1. Pour |x|<1 montrer que |√(1+h) - (1+h/2)|< h²/2 où 1+h/2 est une approximation affine de f au voisinage de 0.
sos-math(21)
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Re: Approximations affines

Message par sos-math(21) » sam. 8 janv. 2022 19:33

Bonjour,
sur ce forum, la politesse est de rigueur : un premier message commence par "bonjour" et se termine par "merci".
D'autre part, nous répondons à des questions d'élèves ayant cherché au préalable leurs exercices.
Je vous invite donc à reformuler votre message et à préciser où est votre difficulté.
Pour ce qui est de votre demande, je vous conseille de multiplier par la quantité conjuguée :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{\left[\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]\left[\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{1+h}^2-\left(1+\frac{h}{2}\right)^2}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
Ce qui donne :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{1+h-h-1-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
sachant que \(h>0\), tu dois pouvoir minorer le dénominateur par 2 pour majorer la valeur absolue de la fraction par \(\dfrac{h^2}{8}\)
Je te laisse terminer
Invité

Re: Approximations affines

Message par Invité » sam. 8 janv. 2022 21:07

sos-math(21) a écrit :
sam. 8 janv. 2022 19:33
Bonjour,
sur ce forum, la politesse est de rigueur : un premier message commence par "bonjour" et se termine par "merci".
D'autre part, nous répondons à des questions d'élèves ayant cherché au préalable leurs exercices.
Je vous invite donc à reformuler votre message et à préciser où est votre difficulté.
Pour ce qui est de votre demande, je vous conseille de multiplier par la quantité conjuguée :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{\left[\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]\left[\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{1+h}^2-\left(1+\frac{h}{2}\right)^2}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
Ce qui donne :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{1+h-h-1-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
sachant que \(h>0\), tu dois pouvoir minorer le dénominateur par 2 pour majorer la valeur absolue de la fraction par \(\dfrac{h^2}{8}\)
Je te laisse terminer
Pourquoi h>0 ?
sos-math(21)
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Re: Approximations affines

Message par sos-math(21) » sam. 8 janv. 2022 21:22

Bonjour,
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que \(h>0\) : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de \(x\geqslant -1\) donc \(x+1\geqslant 0\) donc par croissance de la fonction racine carrée, on a \(\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}\) soit \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)
De même, en partant de \(x\geqslant -1\), on a \(1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
En faisant la somme, on a \(\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
Donc en prenant l'inverse, on a \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}\) donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2\)
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul
Fredy

Re: Approximations affines

Message par Fredy » jeu. 13 janv. 2022 21:25

Bonsoir professeur.
Merci d'avoir accordé du temps à mon exercice. Toute fois, j'ai bien appris de votre démonstration.
Je voulais aussi m'excuser par rapport à mon manque de courtoisie dans le formulation de la demande.
Cordialement.
sos-math(21)
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Re: Approximations affines

Message par sos-math(21) » jeu. 13 janv. 2022 22:18

Bonjour,
pas de problème, l'important est que tu aies compris.
Bonne continuation
Invité

Re: Approximations affines

Message par Invité » ven. 14 janv. 2022 13:16

sos-math(21) a écrit :
sam. 8 janv. 2022 21:22
Bonjour,
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que \(h>0\) : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de \(x\geqslant -1\) donc \(x+1\geqslant 0\) donc par croissance de la fonction racine carrée, on a \(\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}\) soit \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)
De même, en partant de \(x\geqslant -1\), on a \(1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
En faisant la somme, on a \(\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
Donc en prenant l'inverse, on a \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}\) donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2\)
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul
Par contre, j'ai pas compris pourquoi x>=-1.?
sos-math(21)
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Re: Approximations affines

Message par sos-math(21) » ven. 14 janv. 2022 13:27

Bonjour,
comme on te dit que \(|x|<1\), cela signifie que \(-1<x<1\), donc \(x>-1\).
En partant de cette inégalité, cela permet de minorer le dénominateur pour majorer le quotient.
Bonne continuation
Invité

Re: Approximations affines

Message par Invité » sam. 15 janv. 2022 20:21

sos-math(21) a écrit :
ven. 14 janv. 2022 13:27
Bonjour,
comme on te dit que \(|x|<1\), cela signifie que \(-1<x<1\), donc \(x>-1\).
En partant de cette inégalité, cela permet de minorer le dénominateur pour majorer le quotient.
Bonne continuation
D'accord merci.
Mais du coup on trouve |rc(1+x)-(1+x^2/2)|<x^2/8 mais non x^2/2 ?
sos-math(21)
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Re: Approximations affines

Message par sos-math(21) » sam. 15 janv. 2022 20:27

Oui, c'est bien cela,
je m'étais corrigé dans un message précédent et on aura bien \(\dfrac{h^2}{2}\) à la fin conformément à ce qui était demandé :
Bonjour,
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que \(h>0\) : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de \(x\geqslant -1\) donc \(x+1\geqslant 0\) donc par croissance de la fonction racine carrée, on a \(\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}\) soit \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)
De même, en partant de \(x\geqslant -1\), on a \(1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
En faisant la somme, on a \(\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5\)
Donc en prenant l'inverse, on a \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}\) donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2\)
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul
donc en reprenant l'inégalité :
\(\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{1+h-h-1-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}\)
on a
\(\left|\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right|\leqslant \dfrac{h^2}{4}\times 2\) soit :
\(\left|\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right|\leqslant \dfrac{h^2}{2}\).
Bonne continuation
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