Equation d'une droite obtenue par une translation

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Invité

Equation d'une droite obtenue par une translation

Message par Invité » mar. 29 juin 2021 16:11

Bonjour
Comment répondre à cet exercice svp ?
Dans un repère orthonormé, commrnt trouver l'équation reduite de l'image d'une droite par une translation donnée? ( vecteur de translation est donné ainsi que l'équation de la premiere droite )
MERCI
sos-math(21)
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Re: Equation d'une droite obtenue par une translation

Message par sos-math(21) » mar. 29 juin 2021 17:46

Bonjour,
une translation transforme une droite en une droite parallèle.
Donc si ta droite (que je suppose non parallèle à (Oy)) possède une équation de la forme \(y=mx+p\), alors son image a pour équation réduite \(y=mx+p'\) car deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
Pour trouver la valeur de \(p'\), il suffit de partir d'un point de la droite \((d)\), par exemple le point d'abscisse 0 de la droite de départ, qui a pour coordonnées \((0\,;\,p)\), de calculer les coordonnées de son translaté en ajoutant aux coordonnées du point de départ les coordonnées du vecteur.
Ensuite, comme ce point appartient à la droite image, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite image, ce qui permet de retrouver la valeur de \(p'\).
Avec un exemple : on considère la droite \((d)\) d'équation réduite \(y=0,5x-1\) et un vecteur \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}\)
La droite \((d')\) image de \((d)\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\) a une équation réduite de la forme \(y=0,5x+p'\).
On considère alors le point de \((d)\) à l'origine \(A(0\,;\,-1)\), son image \(A'\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\) est le point \(A'(0-3\,;\,-1+5)\) soit \(A'(-3\,;\,4)\).
Ce point appartient à la droite \((d')\) donc ses coordonnées vérifient l'équation de \((d')\) : \(4=0,5\times (-3)+p'\) et \(p'=4+1,5=5,5\) et l'équation réduite de \((d')\) est \(y=0,5x+5,5\).
Bonne continuation
Invité

Re: Equation d'une droite obtenue par une translation

Message par Invité » mar. 29 juin 2021 20:28

Ouiiii jai compris merci beaucoup et merci pour l'explication détaillée. Superbe
MERCi
sos-math(21)
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Re: Equation d'une droite obtenue par une translation

Message par sos-math(21) » mar. 29 juin 2021 21:05

Bonjour,
tant mieux si cela t'a permis de répondre à la question.
Bonne continuation
Invité

Re: Equation d'une droite obtenue par une translation

Message par Invité » mer. 30 juin 2021 16:49

Bonjour
Oui apres votre explication je peux répondre à la question sans souci. Juste une dernière question si vous permettez, le repère est orthonormé est ce une condition nécessaire ? car je pense qu'on peut construire quand même des translations dans n'importe quel repère
Merci
sos-math(21)
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Re: Equation d'une droite obtenue par une translation

Message par sos-math(21) » mer. 30 juin 2021 18:15

Bonjour,
la résolution demeure valable dans un repère quelconque car la notion de translation et les équations de droites sont valables dans un repère quelconque.
Bonne continuation
Invité

Re: Equation d'une droite obtenue par une translation

Message par Invité » mer. 30 juin 2021 20:59

Bonjour
Ok merci pour vos réponses et @+
sos-math(21)
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Re: Equation d'une droite obtenue par une translation

Message par sos-math(21) » mer. 30 juin 2021 21:00

Bonjour,
je verrouille le sujet.
Bonne continuation