probabilité

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Laurent

probabilité

Message par Laurent » mar. 4 mai 2021 11:43

Bonjour,

pourriez vous m'aider sur cet exercice, je n'ai pas l'assurance de mes réponses sur les questions 1 & 2 et ne trouve pas de solution pour les réponses 3 & 4.
Merci pour votre aide .
Cordialement.

une grande enseigne de la distribution étudie l'efficacité d'une offre de fidélisation de sa clientèle. Sur 1500 clients testés seuls 21 n'utilisent pas cette offre et ne créent pas de compte de fidélité. On interroge au hasard et successivement 4 clients et on note s'ils ont créé un compte. On assimile cette opération à un tirage avec remise.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de comptes créés dans ce lot de 4 suite à l'offre de l'enseigne.
1/ Montrez que la probabilité que le client ait créé un compte est p=0.986.

p= ((1500-21)/1500)=0.986 ou p=21/1500 =0.014 0.014-1=0.986

2/ Quelle est la loi de probabilité suivie par X? Préciser ses paramètres.

On appelle épreuve de Bernoulli, toute expérience aléatoire admettant deux issues exactement : L’une appelée « succès » notée S, dont la probabilité est p. L’autre appelée « échec »notée S¯, dont la probabilité est 1−p.

Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si ​S​ se produit et la valeur 0 si non.
Cette expérience aléatoire comporte exactement 2 issues «le client a créé un compte» et « le client n'a pas créé de compte ». On peut donc modéliser cette situation par une loi de Bernoulli. On considère alors que le succès est « le client a créé un compte ».

3/ Déterminer P(X=2). Interpréter le résultat obtenu. ??????
4/ Déterminer la probabilité pour qu'au moins un client soit fidélisé. ?????????
sos-math(21)
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Re: probabilité

Message par sos-math(21) » mar. 4 mai 2021 12:11

Bonjour,
la situation correspond bien à un schéma de Bernoulli de paramètres \(n=4\) et \(p=0,986\) : il faut que tu précises que ton épreuve de Bernoulli se répète dans les mêmes conditions (ce qui est assuré par le tirage avec remise) et de manière indépendante pour obtenir le schéma de Bernoulli.
Ta variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de succès suit alors une loi binomiale de paramètres \(n=4\) et \(p=0,986\) .
Pour le calcul de \(P(X=2)\), soit tu utilises une formule de ton cours \(P(X=k)=\binom{n}{k}\times p^k\times(1-p)^{n-k}\) soit tu représentes la situation par un arbre pondéré de probabilités dans lequel tu cherches les issues contenant exactement 2 succès : tu dois trouver 6 branches menant à exactement 2 succès et chacune de ses branches a une probabilité de \(0,986^2\times (1-0,986)^2\), car tu as rencontré le long de cette branche deux fois la probabilité du succès \((0,986)\) et deux fois la probabilité de l'échec \((1-0,986)\).
Pour la dernière question, cela correspond à la probabilité \(P(X\geqslant 1)\) (au moins un succès). Le calcul de cette probabilité est facilité en considérant l'événement contraire \((X=0)\), en utilisant la relation entre la probabilité d'un événement et celle de son événement contraire :
\(P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)\).
Bon calcul
Laurent

Re: probabilité

Message par Laurent » mar. 4 mai 2021 22:54

Bonjour,
donc pour la question 3/ Déterminer P(X=2). Interpréter le résultat obtenu. ??????
P(X=2)=( 4 2)*0.986²*(1-0.986)^(4-2)=3 * 0.972196*(1.96*10^-4)=5.72*10^-4
La réponse est-elle exacte sachant qu'avec (n k) le coefficient binomial pour k succès, et dans le cas présent n=4 et k=2 ce dernier est égale à 3
Merci pour votre conseil.
Cdlt
sos-math(21)
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Re: probabilité

Message par sos-math(21) » mer. 5 mai 2021 12:52

Bonjour,
comme je te l'ai dit dans mon précédent message, si tu fais l'arbre, tu auras 6 chemins (sur les 16 possibles) qui mènent à exactement deux succès.
Cela signifie que le coefficient binomial \(\binom{4}{2}\) est égal à 6 (et non 3).
Ta probabilité devrait donc être égale au double : \(1,14\times 10^{-3}\).
Bonne correction
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