Bonjour,
J'ai une grande panoplie d'exercices sur la fonction racine carrée (7), j'ai fais les deux premiers mais je bloque au 3ème malheureusement...
c'est ca : https://www.cjoint.com/data3/LEciYinnmk ... racine.png
Je vois comment il faut faire pour la 1 mais je n'arrive pas à aboutir au bon résultat...
Merci bcp
racine carrée
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pauline
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sos-math(21)
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Re: racine carrée
Bonjour,
pour la question 1, qui est difficile pour un niveau seconde, tu dois former \(f(x)-2=\sqrt{x^2+2x+5}-2\) et tu dois multiplier par l'expression conjuguée (\(\sqrt{x^2+2x+5}+2\) afin de faire sauter la racine carrée du numérateur :
\(f(x)-2=\sqrt{x^2+2x+5}-2=\dfrac{\sqrt{x^2+2x+5}-2}{1}\times \dfrac{\sqrt{x^2+2x+5}+2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}=\dfrac{(\sqrt{x^2+2x+5}-2)(\sqrt{x^2+2x+5}+2)}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}\).
Le but est de pouvoir appliquer l'identité remarquable \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) qui va faire disparaître la racine carrée :
\(f(x)-2=\dfrac{(\sqrt{x^2+2x+5}-2)(\sqrt{x^2+2x+5}+2)}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}=\dfrac{(\sqrt{x^2+2x+5})^2-2^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}=\dfrac{x^2+2x+5-4}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}=\dfrac{x^2+2x+1}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}\)
Soit en reconnaissant le développement de \((x+1)^2\), on a \(f(x)-2=\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}\).
Bonne continuation
pour la question 1, qui est difficile pour un niveau seconde, tu dois former \(f(x)-2=\sqrt{x^2+2x+5}-2\) et tu dois multiplier par l'expression conjuguée (\(\sqrt{x^2+2x+5}+2\) afin de faire sauter la racine carrée du numérateur :
\(f(x)-2=\sqrt{x^2+2x+5}-2=\dfrac{\sqrt{x^2+2x+5}-2}{1}\times \dfrac{\sqrt{x^2+2x+5}+2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}=\dfrac{(\sqrt{x^2+2x+5}-2)(\sqrt{x^2+2x+5}+2)}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}\).
Le but est de pouvoir appliquer l'identité remarquable \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) qui va faire disparaître la racine carrée :
\(f(x)-2=\dfrac{(\sqrt{x^2+2x+5}-2)(\sqrt{x^2+2x+5}+2)}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}=\dfrac{(\sqrt{x^2+2x+5})^2-2^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}=\dfrac{x^2+2x+5-4}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}=\dfrac{x^2+2x+1}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}\)
Soit en reconnaissant le développement de \((x+1)^2\), on a \(f(x)-2=\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}\).
Bonne continuation
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pauline
Re: racine carrée
Merci ! Je me suis accrochée et j'ai tout compris.
Et pour la question 2, que dire ?
Merci encore
Et pour la question 2, que dire ?
Merci encore
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SoS-Math(7)
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Re: racine carrée
Bonsoir Pauline,
Pour la question 2), je t'invite à étudier le signe de \( f(x)-2\). A partir du signe de cette différence, tu devrais montrer ton inégalité.
Finalement, tu auras que pour tout \(x\in \mathbb{R}\), \(f(x) \geqslant 2\). De même le minimum de la fonction \(f\) est un nombre plus grand ou égal à 2. Si tu trouves une valeur de \(x\) pour laquelle \(f(x)=2\) alors tu peux conclure que ce minimum est 2.
Je t'invite à utiliser ta calculatrice pour conjecturer la valeur de ce nombre (en utilisant la courbe représentative de cette fonction), puis tu n'auras plus qu'à calculer l'image par \(f\) de ce nombre pour conclure.
J'espère avoir été claire.
Bonne continuation.
Pour la question 2), je t'invite à étudier le signe de \( f(x)-2\). A partir du signe de cette différence, tu devrais montrer ton inégalité.
Finalement, tu auras que pour tout \(x\in \mathbb{R}\), \(f(x) \geqslant 2\). De même le minimum de la fonction \(f\) est un nombre plus grand ou égal à 2. Si tu trouves une valeur de \(x\) pour laquelle \(f(x)=2\) alors tu peux conclure que ce minimum est 2.
Je t'invite à utiliser ta calculatrice pour conjecturer la valeur de ce nombre (en utilisant la courbe représentative de cette fonction), puis tu n'auras plus qu'à calculer l'image par \(f\) de ce nombre pour conclure.
J'espère avoir été claire.
Bonne continuation.
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pauline
Re: racine carrée
Je suis en train d'étudier le signe de f(x)-2.
J'ai reussi pour (x+1)² mais je n'arrive pas pour le dénominateur (surtout pour résoudre l'inéquation nulle)...
Merci beaucoup
J'ai reussi pour (x+1)² mais je n'arrive pas pour le dénominateur (surtout pour résoudre l'inéquation nulle)...
Merci beaucoup
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sos-math(21)
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Re: racine carrée
Bonjour,
tu as montré que \(f(x)-2=\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}\)
De quel signe est le numérateur ? De quel signe est le dénominateur ? Tu dois pouvoir rapidement conclure sur le signe du quotient et donc le signe de \(f(x)-2\).
Pour le minimum, tu peux effectivement regarder à la calculatrice ou te poser la question : pour quelle valeur de \(x\) le quotient est-il égal à 0 ?
Cela revient à regarder pour quelle valeur de \(x\), le numérateur \((x+1)^2\) est égal à 0.
Cela devrait te permettre de trouver la valeur de \(x\) pour lequel \(f(x)=2\).
Le tracé de la fonction devrait te permettre de te convaincre :
Bonne continuation
tu as montré que \(f(x)-2=\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}\)
De quel signe est le numérateur ? De quel signe est le dénominateur ? Tu dois pouvoir rapidement conclure sur le signe du quotient et donc le signe de \(f(x)-2\).
Pour le minimum, tu peux effectivement regarder à la calculatrice ou te poser la question : pour quelle valeur de \(x\) le quotient est-il égal à 0 ?
Cela revient à regarder pour quelle valeur de \(x\), le numérateur \((x+1)^2\) est égal à 0.
Cela devrait te permettre de trouver la valeur de \(x\) pour lequel \(f(x)=2\).
Le tracé de la fonction devrait te permettre de te convaincre :
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pauline
Re: racine carrée
Merci, j'ai trouvé et c'est -1.
Mais pourquoi devoir regarder pour quelle valeur de x le quotient est-il égal à 0 et pas autre chose ? Merci...
Mais pourquoi devoir regarder pour quelle valeur de x le quotient est-il égal à 0 et pas autre chose ? Merci...
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sos-math(21)
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Re: racine carrée
Ton quotient mesure la différence entre \(f(x)\) et \(2\).
D'après le signe du quotient, on voit que cette différence est toujours positive, cela signifie que la fonction est toujours supérieure ou égale à 2 sur l'ensemble des réels. Si la valeur \(2\) est atteinte par \(f\), alors on est sûr que cela correspondra à une valeur minimale des images (toutes les autres lui seront supérieures), et cela correspondra alors à une différence nulle entre \(f(x)\) et \(2\) .
C'est pourquoi on cherche pour quelle valeur de \(x\), cette différence peut éventuellement être égale à 0, et on retrouve \(-1\) dont on est assuré qu'il est l'antécédent du minimum.
Est-ce plus clair ?
D'après le signe du quotient, on voit que cette différence est toujours positive, cela signifie que la fonction est toujours supérieure ou égale à 2 sur l'ensemble des réels. Si la valeur \(2\) est atteinte par \(f\), alors on est sûr que cela correspondra à une valeur minimale des images (toutes les autres lui seront supérieures), et cela correspondra alors à une différence nulle entre \(f(x)\) et \(2\) .
C'est pourquoi on cherche pour quelle valeur de \(x\), cette différence peut éventuellement être égale à 0, et on retrouve \(-1\) dont on est assuré qu'il est l'antécédent du minimum.
Est-ce plus clair ?
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pauline
Re: racine carrée
Oui cela ca va mais pourquoi regarder specialement quand le numérateur est = à 0 ?
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sos-math(21)
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Re: racine carrée
Bonjour
Je crois que j’ai répondu dans mon message
Relis bien ce que je t’ai écrit
Bonne continuation
Je crois que j’ai répondu dans mon message
Relis bien ce que je t’ai écrit
Bonne continuation
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pauline
Re: racine carrée
Oui ok, merci !
j'ai aussi cet exercice qui est compliqué : https://www.cjoint.com/data3/LEdixkTfG5s_somme.png
je ne vois pas comment faire...
Merci beaucoup
j'ai aussi cet exercice qui est compliqué : https://www.cjoint.com/data3/LEdixkTfG5s_somme.png
je ne vois pas comment faire...
Merci beaucoup
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pauline
Re: racine carrée
je pense en fait que je bloque sur cette partie de votre message (surtout la différence). Je ne vois pas vraiment quand est ce que vous parlez du numérateur... Désolée et merci.sos-math(21) a écrit : ↑lun. 2 mai 2022 20:55et cela correspondra alors à une différence nulle entre \(f(x)\) et \(2\) .
C'est pourquoi on cherche pour quelle valeur de \(x\), cette différence peut éventuellement être égale à 0, et on retrouve \(-1\) dont on est assuré qu'il est l'antécédent du minimum.
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sos-math(21)
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Re: racine carrée
Bonjour,
on reprend : quand on calcule \(f(x)-2\), on calcule la différence entre \(f(x)\) et \(2\).
Cette différence est égale à \(\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}\) : cette expression est positive donc \(f(x)-2\geqslant 0\) donc \(f(x)\geqslant 2\).
On a donc montré que toutes les images par \(f\) sont supérieures ou égales à 2, donc la plus petite image est aussi supérieure ou égale à 2.
Si on trouve une valeur de \(x\), tel que \(f(x)=2\), alors on est sûr qu'on sera à un minimum puisque toutes les images sont supérieures à 2.
C'est pourquoi on recherche le cas "limite" où \(f(x)=2\), ce qui revient à faire \(f(x)-2=0\), ce qui est équivalent à \(\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}=0\).
Or un quotient est égal à 0 si et seulement si son numérateur est égal à 0 donc si et seulement si \((x+1)^2=0\) soit \(x+1=0\) donc \(x=-1\).
Donc le minimum est atteint en \(x=-1\), et il est égal à 2.
J'espère que ces précisions te convaincront.
Bonne continuation
on reprend : quand on calcule \(f(x)-2\), on calcule la différence entre \(f(x)\) et \(2\).
Cette différence est égale à \(\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}\) : cette expression est positive donc \(f(x)-2\geqslant 0\) donc \(f(x)\geqslant 2\).
On a donc montré que toutes les images par \(f\) sont supérieures ou égales à 2, donc la plus petite image est aussi supérieure ou égale à 2.
Si on trouve une valeur de \(x\), tel que \(f(x)=2\), alors on est sûr qu'on sera à un minimum puisque toutes les images sont supérieures à 2.
C'est pourquoi on recherche le cas "limite" où \(f(x)=2\), ce qui revient à faire \(f(x)-2=0\), ce qui est équivalent à \(\dfrac{(x+1)^2}{\sqrt{x^2+2x+5}+2}=0\).
Or un quotient est égal à 0 si et seulement si son numérateur est égal à 0 donc si et seulement si \((x+1)^2=0\) soit \(x+1=0\) donc \(x=-1\).
Donc le minimum est atteint en \(x=-1\), et il est égal à 2.
J'espère que ces précisions te convaincront.
Bonne continuation
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sos-math(21)
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Re: racine carrée
Bonjour,
Pour répondre à ton dernier exercice, je le trouve très difficile pour un niveau seconde...
Si tu regardes \(f(n)=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\) et que tu multiplies de nouveau par l'expression conjuguée :
\(f(n)=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\times \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Si tu utilises désormais cette valeur pour faire des écritures en cascade :
\(f(0)=\sqrt{1}-\sqrt{0}\)
\(f(1)=\sqrt{2}-\sqrt{1}\)
\(f(2)=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
...
\(f(n)=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Quand tu additionnes ces égalités en cascade, il y des simplifications et il restera seulement quelques termes.
Je te laisse réfléchir un peu.
Bonne continuation
Pour répondre à ton dernier exercice, je le trouve très difficile pour un niveau seconde...
Si tu regardes \(f(n)=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\) et que tu multiplies de nouveau par l'expression conjuguée :
\(f(n)=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\times \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Si tu utilises désormais cette valeur pour faire des écritures en cascade :
\(f(0)=\sqrt{1}-\sqrt{0}\)
\(f(1)=\sqrt{2}-\sqrt{1}\)
\(f(2)=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
...
\(f(n)=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Quand tu additionnes ces égalités en cascade, il y des simplifications et il restera seulement quelques termes.
Je te laisse réfléchir un peu.
Bonne continuation
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pauline
Re: racine carrée
Merci pour vos réponses.
Je suis dans un lycée plutot avec un niveau élevé...
Du coup pour l'exercice j'ai remarqué que si je faisais la somme de f(0) + f(1) + f(2) je trouvais "juste" racine carrée de 3 et effectivement on pouvait simplifier à chaque fois beaucoup de choses.
Mais je ne vois pas trop quoi ce qu'il faut exactement additionner pour trouver la somme Sn; je pense qu'il y a une technique mais je ne vois pas laquelle...
Merci beaucoup
Je suis dans un lycée plutot avec un niveau élevé...
Du coup pour l'exercice j'ai remarqué que si je faisais la somme de f(0) + f(1) + f(2) je trouvais "juste" racine carrée de 3 et effectivement on pouvait simplifier à chaque fois beaucoup de choses.
Mais je ne vois pas trop quoi ce qu'il faut exactement additionner pour trouver la somme Sn; je pense qu'il y a une technique mais je ne vois pas laquelle...
Merci beaucoup