démonstration

[inès]

Bonsoir,

Je dois démontrer, en supposant que le triangle AMB est rectangle en M, que M appartient au cercle de diamère AB.
J'ai fais une figure et j'ai pensé à faire le symétrique du triangle AMB par le centre O, en pensant que ca peutaider...
Ensuite je suis bloqué..
Merci par avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu peux commencer par faire une figure pour te représenter la situation.
Ensuite, dire que \(M\) appartient au cercle de diamètre \([AB]\), revient à dire que \(M\) appartient au cercle de centre \(O\), milieu de \([AB]\) et de rayon \(R=OA=OB=\dfrac{AB}{2}\). Il faut donc prouver que \(OM=OA=OB\).
Cela peut effectivement passer par le symétrique du point \(M\) par rapport à \(O\).
Si tu notes \(M'\) ce symétrique, alors par définition de la symétrie centrale, tu as \(O\) milieu de \([MM']\).
On a donc :

• \(O\) milieu de \([AB]\)
• \(O\) milieu de \([MM']\)

Ainsi le quadrilatère \(MAM'B\) a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, donc c'est un parallélogramme.

L'angle \(\widehat{BMA}\) est droit donc \(MAM'B\) est un parallélogramme avec un angle droit donc c'est un rectangle.

Or dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur donc on obtient, \(MM'=AB\) et en prenant les demi-diagonales, on a bien \(OM=OA=R\).
Ce qui prouve bien l'appartenance de \(M\) au cercle de diamètre \([BC]\).
As-tu suivi mon raisonnement ?
Bonne continuation

[inès]

Bonsoir,

Merci pour votre réponse. Avez vous utilisé la technique du symétrique du triangle AMB par O ? c'est fortement reccomandé par mon professeur...

Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
si tu lis bien ma démonstration, c'est ce que j'ai utilisé : plus précisément, je n'ai utilisé que le symétrique du point \(M\) par rapport au point \(O\) et cela suffit, ce n'est pas la peine de considérer le symétrique de tout le triangle (il y a peut-être une autre démonstration avec ce symétrique).
Mais c'est bien dans l'esprit de ce que ton professeur demande.
Bonne continuation

[inès]

Ok merci. Ce qui m'étonne un peu c'est qu'en cours on a montré que le triangle AMB est rectangle en M et c'était quasiment la même chose... Aussi il nous a parlé de conservation d'angles pour cet démonstratin là.

Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
comme souvent en mathématiques, il n'y a pas qu'une seule bonne méthode.
Tu peux effectivement utiliser la conservation des angles par une symétrie centrale, cela te donne un deuxième angle droit (en \(M'\)).
Ensuite, et comme les angles d'un triangle sont complémentaires, on a \(\widehat{MAB}+\widehat{MBA}=90°\).
La symétrie conservant les angles, l'image de l'angle \(\widehat{MBA}\) est l'angle \(\widehat{BAM'}\) et on a la même mesure : \(\widehat{MBA}=\widehat{BAM'}\) .
L'égalité devient alors \(\widehat{MAB}+\widehat{MBA}=\widehat{MAB}+\widehat{BAM'}= 90°\). Or \(\widehat{MAB}+\widehat{BAM'}=\widehat{MAM'}\), donc cet angle est droit.
Tu as donc un quadrilatère qui a trois angles droits donc c'est un rectangle. La conclusion est identique à ma démonstration.
Bonne continuation

[inès]

Bonjour

merci. je ne comprens pas trop pourquoi les angles MAB+ABM sont égaux à MAB+BAM... surtout la deuxieme partie de l'égalité.

Et aussi je ne comprens pas pourquoi les angles MBA et BAM' sont égaux; c'est parce qu'ils sont correspondants ?

Merci encore

[SoS-Math(33)]

Bonjour Inès,
comme l'a dit sos-math(21)
Les angles \(\widehat{MAB}\) et \(\widehat{MBA}\) sont les deux angles aigus d'un triangle rectangle donc ils sont complémentaires ( leur somme est égale à 90°)
Les angles \(\widehat{MBA}\) et \(\widehat{BAM'}\) sont symétriques par rapport au point \(O\), or le symétrique d'un angle par rapport à un point est un angle de même mesure donc \(\widehat{MBA}=\widehat{BAM'}\)
Donc \(\widehat{MAB}+\widehat{MBA}=90)\)
Ainsi \(\widehat{MAB}+\widehat{MBA}= \widehat{MAB}+\widehat{BAM'}=90°\)
Est-ce plus clair.
SoS-math