Exercice

[Melanie]

Bonjour,
J'ai un exercice qui dit :
Dans un repère orthonormé, on place les point A(3;7),B(-3,1),C(1,-3).
Démontrer que ABC est un triangle rectangle. Et il isocele aussi ? Justifier

Je ne sais pas comment faire du tout...

Merci pour votre aide

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu travailles dans un repère orthonormé donc tu peux appliquer la formule donnant la distance entre deux points :
Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) sont deux points d'un repère orthonormé, alors :
\(AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\) et on a donc \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
Je t'ai mis les deux versions car tu as plutôt besoin de calculer les carrés des distances pour mettre en œuvre la réciproque de Pythagore afin de démontrer que le triangle est rectangle :
\(AB^2=\ldots\)
\(BC^2=\ldots\)
\(AC^2=\ldots\)
Il faut voir si la somme des deux plus petits carrés est égale au plus grand.
Pour le caractère isocèle, il suffit de regarder si il y a deux carrés égaux parmi ces trois carrés.
Bons calculs

[Melanie]

Bonjour

du coup j'ai fais
AB=√((-3)-3)²+(1-7)²=6√2
BC=√1-(-3)²+(-3-1)²=2√2
AC=√(-1-3)²+(-3-7)²=2√26
soit
AB²=12
BC²=2
AC²=104

Donc il y a un problème, ca ne correspond pas...

[SoS-Math(33)]

Bonjour,
il y a des erreurs dans tes calculs.
\(AB= \sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\) donc \(AB^2 = 72\) et non \(12\)
\(BC= \sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) et non \(2\sqrt{2}\) donc \(BC^2 = 32\)
\(AC=\sqrt{(1-3)^2+(-3-7)^2}=\sqrt{4+100}= \sqrt{104}=2\sqrt{26}\) donc \(AC^2 = 104\)
On a \(AC^2=AB^2+BC^2\) donc \(ABC\) est rectangle en \(B\)
SoS-math

[Melanie]

Merci mais qu'est ce qui ne va pas dans mes calculs ?

[SoS-Math(33)]

\((6\sqrt{2})^2=6^2 \times (\sqrt{2})^2=36\times2=72\)
\(BC=\sqrt{(1-(-3))^2+(-3-1)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}\) et \((4\sqrt{2})^2= 4^2 \times (\sqrt{2})^2=16\times2= 32\)
Est-ce plus clair pour les calculs en comparant avec ce que tu as fait?
SoS-math

[Melanie]

Mais vous avez suivi la formule avec la racine carrée ?

je n'arrive pas à retrouver le xb-xa et le yB-yA...

[SoS-Math(33)]

Je reprends pour \(BC\),
\(B(-3;1)\) et \(C(1;-3)\)
La formule avec la racine carrée :
\(BC = \sqrt{(x_c-x_b)^2+(y_c-y_b)^2}= \sqrt{(1-(-3))^2+(-3-1)^2}=\sqrt{(1+3)^2+(-4)^2}\)
\(=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)
La formule avec le carré de la longueur
\(BC^2 = (x_c-x_b)^2+(y_c-y_b)^2=(1-(-3))^2+(-3-1)^2=(1+3)^2+(-4)^2=4^2+(-4)^2=16+16=32\)
Tu vois mieux l'utilisation des formules?
SoS-math

[Melanie]

Donc en fait la formule avec la racine carrée sert à calculer la distance entre deux point et l'autre le carrée de cette distance ?

Mais du coup pourquoi, après avoir mis au carré le nombre qu'on a eu avec la formule de la racine carrée, on ne retrouve pas celui qu'on trouve avec l'autre formule ?

et aussi dans mon cours j'ai seulement celle avec la racine carrée...

[SoS-Math(33)]

Oui c'est cela,
l'une sert à calculer la longueur entre deux points et l'autre le carré de cette longueur.
On retrouve les mêmes valeurs, c'est que tu as fait des erreurs dans tes calculs en élevant au carré.
On trouve avec la racine carrée :
\(AB= \sqrt{72}=6\sqrt{2}\) ; \(BC= \sqrt{32}=4\sqrt{2}\) ; \(AC= \sqrt{104}=2\sqrt{26}\)
On trouve pour le carré des longueurs :
\(AB^2 = 72\) ; \(BC^2 = 32\) ; \(AC^2 = 104\)

SoS-math

[Melanie]

Ok, merci j'ai compris,

du coup je trouve que 72²+32²=6208
or 104²=10816

Du coup il y a encore un pb...

[SoS-Math(33)]

Non Mélanie,
\(72\) ; \(32\) et \(104\) sont les carrés des longueurs, il ne faut pas les mettre à nouveau au carré.
Tu as
\(AB^2 = 72\) ; \(BC^2 = 32\) ; \(AC^2 = 104\)
et \(72+32=104\) donc \(AB^2+BC^2=AC^2\)
Et ainsi l'égalité de Pythagore est vérifiée donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est bien un triangle rectangle.
SoS-math