SOS-MATH

Bonsoir,

Je voudrai savoir comment montrer qu'une équation atteint une valeur maximale.

Pour l'équation (-2+5x²)-(7-3x)(2-x)...

Pourriez vous m'aider svp ?

Bonne soiréeeeee

Bonsoir Zoé,

Pour avoir une équation il faut un signe " = " ... et je n'en vois pas.
Tu veux peut-être trouver le maximum de la fonction f(x)= (-2+5x²)-(7-3x)(2-x) ?
Pour cela, commence par développer ton expression puis trouve la forme canonique.

SoSMath.

Merci.

Et en fait je suis désolé mais l'équation c'est f(x)=(-1+2x)²-(3-6x)(1-x)... désolée

Du coup j'ai développé et ca m'a donné -2x²+5x-2.
Ensuite pour la forme canonique qui doit etre sous la forme ax²+bx+c
Cela fait -2x²+5x-2
Cela fait -2(x²-2.5x+1)
Je m'arrete la car je ne suis pas sure; c'est fort possible que je me sois trompée. Du coup ai-je faux ?

Merci

Bonjour,
ton développement est correct.
Ensuite, pour avoir la forme canonique, soit tu continues ce que tu as entamé, soit tu utilises des formules que tu as du voir en classe (si tu es en première générale)
Tu dois trouver à la fin \(-2\left(x-1,25\right)^2+1,125\).
Bon calcul

Merci.

Je suis en seconde donc je ne connais pas de formule...

Du coup avec ma technique apres etre arrivé à ca -2(x²-2.5x+1), le problème c'est que je ne reconnais pas d'identité remarquable dans la parenthèse...
Pourriez vous m'aider svp ? Je vois juste que c'est égal à -2(x²-2*1.25*x+1) Désolée

Merci.

Bonjour,
c'est déjà un bon début : si tu reconnais \(-2(x^2-2\times 1,25\times x+\ldots\), cela signifie qu'à l'intérieur des parenthèses, c'est le début du développement de \((x-1,25)^2\).
Or si tu développes ce carré avec une identité remarquable, cela produit \(1,25^2\) en plus donc il faudra le retirer pour conserver la même expression :
\(A(x)=-2(x^2-2\times 1,25\times x+1)=-2\left[(x-1,25)^2\color{red}{-1,25^2}+1\right]\)
donc on a en réduisant et en distribuant : \(A(x)=-2\left[(x-1,25)^2\color{red}{-1,25^2}+1\right]=-2\left[(x-1,25)^2-0,5625)\right]=-2(x-1,25)^2-(-2)\times0,5625=-2(x-1,25)^2+1,125\)
As-tu compris mes manipulations ?

Bonjour,

J'ai plusieurs questions :
Quand vous dîtes : Cela produit 1,252 en plus donc il faudra le retirer pour conserver la même expression
Je ne comprends pas trop...
De plus pourquoi on ne peut pas s'arrêter à-2((x-1,25)²-0,5625)) ?

Merci !

Bonjour,
ton expression contient le début du développement du carré d'une différence, celui-ci est incomplet.
Donc si tu veux l'avoir complètement, il faut que tu rajoutes le carré manquant pour factoriser ensuite. Il faut donc l'enlever pour que l'expression reste la même :
\(x^2-2\times 1,25x=\underbrace{x^2-2\times 1,25x+1,25^2}_{(x-1,25)^2}\underbrace{-1,25^2}_{\text{compensation}}=(x-1,25)^2-1,25^2\)
Pour la forme finale, la forme générale d'une forme canonique est \(a(x-\alpha)^2+\beta\), c'est pourquoi j'ai développé.
Est-ce plus clair ?

C'est bon j'ai tout compris merci infiniment !!

Par contre maintenant pour montrer que cette équation atteint une valeur maximale je ne sais pas trop...

Merci bcp encore

Bonjour,
la forme canonique met en évidence les coordonnées du sommet de la parabole qui est la représentation graphique de ta fonction \(f(x)=-2 x^2 + 5x - 2\).
Ta quantité \((x-1,25)^2\) est positive donc \(-2(x-1,25)^2\) est un nombre négatif donc comme \(f(x)=-2(x-\color{red}{1,25})^2+\color{blue}{1,125}\), ta fonction est toujours inférieure ou égale à \(1,125\). Le cas d'égalité correspond au maximum de ta fonction, et celui-ci apparait lorsque la quantité \(-2(x-1,25)^2\) est nulle, ce qui arrive lorsque \(x=1,25\).
Finalement, on voit que la fonction atteint son maximum en \(x=\color{red}{1,25}\) et que celui-ci vaut \(\color{blue}{1,125}\).
En généralisant, si on a \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\), alors cette fonction atteint un extremum en \(x=\alpha\) et celui-ci vaut \(\beta\).
Si \(a>0\), cet extremum est un minimum
Si \(a<0\) (c'est le cas ici), cet extremum est un maximum.
Bonne conclusion

D"accord donc ici le maximum est de 1.25.

Merci infiniment de votre aide qui m'a été fortement utile !!

Au revoir

Bonjour,
attention, le maximum est une valeur d'image, c'est-à-dire une valeur prise par \(f(x)\) et non par \(x\).
Ici le maximum est \(\beta=1,125\), qui est atteint pour \(x=1,25\).
Bonne continuation

D'accord merci mais du coup pourquoi quand je fais -2(1.125-1.25)²+1.25, ca ne me donne pas 1.25 ?

Merci

Bonjour,
tu mélanges les deux valeurs, assez proches il est vrai.
Tu as \(f(x)=-2(x-1,25)^2+1,125\)
Donc lorsque \(x=1,25\) : \(f(1,25)=(1,25-1,25)^2+1,125=0+1,125=1,125\) donc le maximum est bien \(1,125\) et celui-ci est atteint lorsque \(x=1,25\).
Est-ce plus clair ?

Oui, d'accord.

Par contre comment savez vous que comme ma quantité (x−1,25)² est positive donc −2(x−1,25)² est un nombre négatif ?

Merci