√2 irrationnel

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charlotte

√2 irrationnel

Message par charlotte » mar. 12 oct. 2021 17:46

Bonjour, bonsoir,

On souhaite montré que √2 est irrationnel.
Si √2 est un rationnel, alors il s'écrie sous la forme d'une fraction irréductible p/q où p et q sont des entiers relatifs non nuls.

la premiere question c'est : vérifiez que p au carré = 2q au carré

Pourriez-vous me donner des piste svp je ne sais pas comment faire...

Merci bcp et bonne soirée
SoS-Math(33)
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Re: √2 irrationnel

Message par SoS-Math(33) » mar. 12 oct. 2021 18:07

Bonjour Charlotte,
le sujet est déjà traité sur le forum.
Tu trouveras des pistes ici : http://sosmath.ac-poitiers.fr/viewtopic.php?f=7&t=20220
Tu peux revenir vers nous si tu as des questions supplémentaires.
SoS-math
charlotte

Re: √2 irrationnel

Message par charlotte » mer. 13 oct. 2021 08:42

Bonjour,

J'ai regardé merci mais j'ai une autre question.

J'ai mit que :
Si p est pair alors il existe un réel k tel que p =2k.
On a alors p²= (2k)²=4k²=2*2k² donc p est pair
Si p est impair alors il existe un réel k tel que p=2k+1.
On a alors p²= (2k+1)²=4k²+4k+1=2(2k²+k)+1 donc p² est impair

On me demande ensuite d'en déduire que p est pair mais je n'y arrive pas...

Pouvez vous m'aidez svp ?
SoS-Math(33)
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Re: √2 irrationnel

Message par SoS-Math(33) » mer. 13 oct. 2021 12:22

Bonjour Charlotte,
nous sommes des professeurs en activité devant des élèves donc parfois nous ne pouvons pas répondre de suite.
Tu as montré que \(p^2=2q^2\)
donc \(p^2\) est pair
donc \(p\) est aussi pair car si il était impair d'après ce que tu viens de montrer dans le message précédent \(p^2\) serait aussi impair
SoS-math
charlotte

Re: √2 irrationnel

Message par charlotte » mer. 13 oct. 2021 15:12

Merci beaucoup.

Ensuite on me demande, puisque p est pair, il existe p' tel que p = 2p'.
Démontrez alors que q²= 2p'²

Je trouve cette exercice très compliqué..

Merci infiniment pour votre aide
sos-math(21)
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Re: √2 irrationnel

Message par sos-math(21) » mer. 13 oct. 2021 15:21

Bonjour,
oui cet exercice est difficile, c'est une démonstration au programme de seconde mais qui est délicate à mener pour un élève seul.
Une fois que tu as montré que p^2 est pair, et que tu as déduit que p était pair, cela signifie que p s'écrit sous la forme 2p' avec p' entier.
tu as donc, en revenant à l'égalité initiale : (2p')^2=2q^2 soit 4p'^2=2q^2 donc en simplifiant par 2, tu as 2p'^2=q^2.
Cela te montre que q^2 est pair. En utilisant le même raisonnement que pour p tu en déduis que q est pair.
Au final, tu as obtenu que p et q sont pairs tous les deux donc la fraction p/q se simplifierait par 2, ce qui contredit le fait que p/q était irréductible.
Cette contradiction prouve par l'absurde que l'hypothèse faite au départ est fausse.
Donc il n'existe pas d'entiers p et q tels que racine(2)=p/q donc racine(2) n'est pas rationnel, et est donc irrationnel.
Bonne continuation
charlotte

Re: √2 irrationnel

Message par charlotte » mer. 13 oct. 2021 15:32

Merci.

J'ai une question:

Quand vous dites "tu as donc, en revenant à l'égalité initiale : (2p')^2=2q^2" : comment faites vous pour trouver cela ? en fait je ne comprends pas pourquoi vous rajoutez un ² "à gauche" de l'équation et un fois 2 au début d'"à droite de l'équation"... Je ne sais pas trop si vous comprenez ma question

Merci
sos-math(21)
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Re: √2 irrationnel

Message par sos-math(21) » mer. 13 oct. 2021 15:49

Bonjour,
c'est le début de ta démonstration : tu as supposé qu'il existait deux entiers p et q (que l'on peut supposer positifs sans perte de généralité) tels que
racine(2)=p/q, la fraction étant supposée irréductible.

En élevant tout au carré, tu as (tu l'as d'ailleurs écrit toi-même) p^2/q^2=2 (car la racine de 2 au carré donne 2) ce qui donne en multipliant par q^2 dans les deux membres de l'égalité : p^2=2q^2 : voilà ce que j'ai appelé l'égalité initiale, que tu avais aussi.

Comme tu as obtenu que p=2p' tu as, en remplaçant p par 2p', dans cette égalité : (2p')^2=2q^2 soit 4p'^2=2q^2 et en simplifiant par 2 :

2p'^2=q^2,

ce qui prouve que q^2 est pair. En utilisant le même raisonnement que pour p tu en déduis que q est pair.

Au final, tu as obtenu que p et q sont pairs tous les deux donc la fraction p/q se simplifierait par 2, ce qui contredit le fait que p/q était irréductible.
Cette contradiction prouve par l'absurde que l'hypothèse faite au départ est fausse.
Donc il n'existe pas d'entiers p et q tels que racine(2)=p/q donc racine(2) n'est pas rationnel, et est donc irrationnel.
Bonne continuation
charlotte

Re: √2 irrationnel

Message par charlotte » mer. 13 oct. 2021 16:03

Merci. Ca, c'est plus clair.

Désolée mais maintenant je ne comprends pas cette partie de votre phrase :
Comme tu as obtenu que p=2p' tu as, en remplaçant p par 2p', dans cette égalité : (2p')^2=2q^2

Je ne comprends pas d'ou sort le q surtout. et si on remplace p par 2p', cela ne nous donne pas 2p'=2p' ?
SoS-Math(33)
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Re: √2 irrationnel

Message par SoS-Math(33) » mer. 13 oct. 2021 19:10

Bonjour Charlotte,
tu as au début de la démonstration : \(\dfrac{p}{q}=\sqrt{2}\)
en élevant au carré tu as obtenu : \(\dfrac{p^2}{q^2}=2\)
d'où \(p^2=2q^2\)
En posant \(p=2p\)' tu obtiens \((2p')^2=2q^2\)
ce qui te donne \(4p'^2=2q^2\)
et en simplifiant par \(2\) de chaque côté : \(2p'^2=q^2\)
Sos-math
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