Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

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climat

Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

Message par climat » mer. 26 mai 2021 14:09

Bonjour, de l'aide SVP pour cet exo
Soit ABC un triangle , (C) le cercle circonscrit à ce triangle , H est le point de concours de ses hauteurs ,
H' est le symétrique du point H par rapport à la droite (bc) , K est le symétrique du point H par rapport au point A' milieu du [BC].
-Montrer que les point H' et K appartiennent au même cercle (C) .

Oui il se trouve que parmi les point appartenant à ce cercle y a : les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés et aussi les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés. Mais je n'arrive pas à démontrer cela.
Merci
Fichiers joints
cerc.png
sos-math(21)
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Re: Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

Message par sos-math(21) » jeu. 27 mai 2021 13:51

Bonjour,
Pour montrer que K appartient au cercle circonscrit à ABC, tu peux commencer par montrer que BKCH est un parallélogramme
Tu pourras ensuite en déduire que le triangle ACK est rectangle en C, et de même que le triangle ABK est rectangle en B.
Cela devrait te permettre de montrer que K appartient au cercle circonscrit à ABC.
Bonne continuation
climat

Re: Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

Message par climat » jeu. 27 mai 2021 21:46

bonjour,
Oui merci beaucoup je crois que je vous ai compris, puisque [BC] et [KH] ont le même milieu donc [BC] et [KH] représentent les diagonales du parallélogramme BKCH, du coup (BK)//(CH) et (BH)//(KC) ce qui fait que l'angle KCA = l'angle ABK = 90° ( en utilisant les angles formés par deux droites parallèles et une sécante ). ainsi alors [AK] représente forcément le diamètre du cercle qui passe par les points ACK et aussi le diamètre du cercle qui passe par les points ABK d'où ces 2 cercles sont confondus ce qui fait que k appartient au cercle qui passe par ABC.
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Re: Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

Message par sos-math(21) » jeu. 27 mai 2021 21:57

Bonjour,
Ta démarche me semble correcte et il te reste désormais à rédiger ta démonstration en citant les propriétés précises, notamment celle du triangle rectangle et du cercle :
Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre son hypoténuse (ou dit autrement son cercle circonscrit a pour centre le milieu de son hypoténuse).
Bonne rédaction
climat

Re: Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

Message par climat » ven. 28 mai 2021 00:17

Bonjour,
Oui pas de problème pour la rédaction je crois que je sais citer tous les détails pour cette démonstration.
Mais pour ce qui est du point H' , là il est clair que (BC) est une médiatrice du segment [HH'] mais en l'absence de droites parallèles je ne vois pas comment continuer, Merci
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Re: Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

Message par sos-math(21) » ven. 28 mai 2021 06:46

Bonjour,
pour le point \(H'\), je te propose la démarche suivante par identification.
On appelle \(M\) le point d'intersection de \((AH)\) avec le cercle circonscrit et on va prouver que \(M=H'\), c'est-à-dire que \(M\) est le symétrique de \(H\) par rapport à \((BC)\).
On va utiliser la propriété établie avant :
On sait que \([AK]\) est un diamètre du cercle circonscrit, et le point \(M\) appartenant au cercle, on obtient que le triangle \(AMK\) est rectangle en \(M\) donc \((KM)\perp (AH)\) (propriété utilisée : si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle).
Par définition d'une hauteur, on a \((BC)\perp (AH)\). Ainsi
\(\left\lbrace\begin{array}{l}(KM)\perp (AH)\\(BC)\perp (AH)\end{array}\right.\Longrightarrow (KM)//(BC)\) (propriété utilisée : si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles).
Il te reste ensuite à appliquer le second théorème des milieux dans le triangle \(HKM\) :
\(\left\lbrace\begin{array}{l}A'\,\text{milieu de }\,[HK])\\(BC)//(KM)\end{array}\right.\Longrightarrow (BC)\,\text{coupe }\,[HM]\,\text{en son milieu}\)
(propriété utilisée : dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu).
Cette dernière propriété devrait te permettre de conclure que \((BC)\) est la médiatrice de \([HM]\), donc que \(M\) est le symétrique de \(H\) par rapport à \((BC)\).
Bonne conclusion
climat

Re: Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

Message par climat » ven. 28 mai 2021 09:16

Bonjour,
Oui voici la conclusion : et comme M ∈ (C) et M=H' donc H' ∈ (C)
Superbe oui j'ai compris merci beaucoup pour l'explication
Je crois que j'ai trouvé une autre démarche en utilisant les angles, je vais la rédiger et vous me dirai si elle est juste ou pas
sos-math(21)
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Re: Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

Message par sos-math(21) » ven. 28 mai 2021 09:41

Bonjour,
Oui il y une démarche avec la caractérisation de la cocyclicité (appartenance de points à un même cercle) avec des égalités d’angles.
Il y a aussi des méthodes vectorielles en passant par la relation d’Euler (\(\overrightarrow{OH}= \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}\)).
Comme je ne savais quelles étaient tes connaissances, j’ai cherché une démonstration utilisant des outils de niveau collège.
Bonne continuation
climat

Re: Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

Message par climat » ven. 28 mai 2021 11:10

Bonjour,
On va utiliser le théorème suivant : " Si on a dans un quadrilatère deux angles opposés supplémentaires alors les sommets de ce quadrilatère se trouvent tous sur un seul et même cercle."
Donc on a le quadrilatère ABH'C et on va montrer que les angles BH'C et CAB sont supplémentaires.
On appelle d'abord N le point d'intersection de la hauteur (HC) avec le coté [AB]
et J le point d'intersection de la hauteur (HB) avec le coté [AC]
* On a l'angle HH'C = l'angle CHH' et l'angle BH'H = H'HB (propriété de la médiatrice (BC) du segment [HH']
donc l'angle BH'C = l'angle BH'H + l'angle HH'C = l'angle H'HB + l'angle CHH' = l'angle CHB .....(1)
* On a l'angle CHB = 180° − l'angle BHN ( puisque l'angle NHC est un angle droit ) ..............(2)
* On a le triangle NBH rectangle en N ( puisque N est le point d'intersection de la hauteur (HC) avec le coté [AB] )
donc l'angle BHN = 90° − l'angle NBH ...................................................................(3)
* On a le triangle ABJ rectangle en J ( puisque J est le point d'intersection de la hauteur (HB) avec le coté [AC] )
donc l'angle NBH = l'angle ABJ = 90° − l'angle CAB ...................................................(4)
* On déduit alors des équations (1) , (2) , (3) et (4) que l'angle BH'C = 180° − l'angle CAB
donc l'angle BH'C + l'angle CAB = 180°
d'où les sommets du quadrilatère ABH'C se trouvent dans le même cercle (C)
*MERCI INFINIMENT*
climat

Re: Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

Message par climat » ven. 28 mai 2021 11:43

sos-math(21) a écrit :
ven. 28 mai 2021 09:41
Il y a aussi des méthodes vectorielles en passant par la relation d’Euler (\(\overrightarrow{OH}= \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}\)).
Si vous parlez du produit scalaire j'imagine que ce cours est prévu pour classe 1ere (donc l'année prochaine)
Mais justement j'ai vu dans le livre la notion du droite d'Euler et j'ai essayé de comprendre la démonstration mais je l'ai trouvé assez difficile et du coup j'ai compris cette démonstration à 50% seulement. Si vous pouvez m'expliquer cette démonstration de la droite d'Euler SVP.
sos-math(21) a écrit :
ven. 28 mai 2021 09:41
Comme je ne savais quelles étaient tes connaissances, j’ai cherché une démonstration utilisant des outils de niveau collège.
Bonne continuation
Merci pour tous vos efforts et éclaircissements
sos-math(21)
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Re: Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

Message par sos-math(21) » ven. 28 mai 2021 13:12

Bonjour,
ta démonstration me semble correcte, il y a juste une petite erreur dans une de tes phrases :
On a l'angle CHB = 180° − l'angle BHN ( puisque l'angle NHC est un angle droit )
Je pense que tu voulais dire que \(\widehat{NHC}\) est un angle plat.
Sinon, c'est très bien raisonné mais c'est bien au-delà du niveau seconde.
Pour la relation d'Euler (\(\overrightarrow{OH}= \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}\)), je peux te proposer la démarche suivante avec les notations de ta figure initiale :
Si on considère le point \(M\) du plan défini par \(\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}\).
Alors en notant \(A'\) le milieu de \([BC]\), on a en passant \(\overrightarrow{OA}\) dans le membre de gauche :
\(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\)
La relation de Chasles à gauche et la règle du parallélogramme à droite permettent de simplifier les écritures vectorielles :
\(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{OA'}\).
Cette relation vectorielle permet de montrer que \(\overrightarrow{AM}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{OA'}\) qui est un vecteur directeur de la médiatrice de \([BC]\) donc on en déduit que \((AM)//(OA')\) et comme \((OA')\perp (BC)\), on en déduit que \((AM)\perp (BC)\).
Donc \(M\) appartient à la perpendiculaire à \((BC)\) passant par \(A\), autrement dit \(M\) appartient à la hauteur issue de \(A\).

Si on recommence la même démonstration avec \(B'\) milieu de \([AC]\), on obtiendra, en suivant la même démarche, que \(M\) appartient à la hauteur issue de \(B\).

De même, en recommençant la même démonstration avec \(C'\) milieu de \([AB]\), on obtiendra en suivant la même démarche, que \(M\) appartient à la hauteur issue de \(C\).
Finalement, \(M\) appartient aux trois hauteurs du triangle donc \(M\) est l'orthocentre et \(M=H\) donc \(\overrightarrow{OH}= \overrightarrow{OA}+ \overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}\), et en particulier, en reprenant les éléments de la démonstration , \(\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OA'}\)

Cette relation permet de démontrer le fait que \(K\) symétrique de \(H\) par rapport à \(O\) est bien sur le cercle en montrant que \(O\) est le milieu de \([AK]\).
En effet, en partant de la relation \(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OA}\) et en utilisant la relation de Chasles pour insérer des points, on a :
\(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'K}+\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HA}\)
Avec la relation précédente, \(\overrightarrow{HA}=-2\overrightarrow{OA'}\), on a en simplifiant :
\(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OA}= \overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'K}+\overrightarrow{OH}-2\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{A'O}+\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{A'K}=\overrightarrow{A'H}+\overrightarrow{A'K}\)
Or cette dernière relation est égale au vecteur nul car \(A'\) milieu de \([HK]\).
Ainsi, on a aussi \(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{0}\) donc \(O\) milieu de \([AK]\) ce qui prouve que \(K\) appartient au cercle circonscrit à \(ABC\).
Bonne continuation
clima

Re: Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

Message par clima » sam. 29 mai 2021 09:32

Bonjour
Oui effectivement l'angle NHC est un angle plat, merci pour la correction
Je vous remercie pour toutes vos réponses et explications
sos-math(21)
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Re: Montrer l'appartenance de certains points à un cercle

Message par sos-math(21) » sam. 29 mai 2021 09:33

Bonjour,
je pense qu'on a fait le tour de la question donc je verrouille le sujet.
Bonne continuation et à bientôt sur sos-math
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