URGENT DÉMONSTRATION PAR L'ABSURDE

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Lili

URGENT DÉMONSTRATION PAR L'ABSURDE

Message par Lili » mer. 2 déc. 2020 15:49

Bonjour,
Alors voilà....
J'ai un DM à rendre pour demain sur ce sujet:
V3=p/q, avec p et q entiers naturels premiers entre eux et q non nul. V3 est rationnel.

1)On veut montrer que si 3 est un diviseur de p², alors il est aussi un diviseur de p. Pour cela, on raisonne par l'absurde.

2) Montrer que p²=3q².

3)On suppose que 3 n'est pas diviseur de p. Montrer qu'alors le nombre p peut s'écrire, sois sous la forme 3k+1, soit sous la forme 3k+2, avec k entier.

Si vous pouviez me répondre vite ça serait vraiment géniale merci beauuuucoupppp!!!!!!♡♡♡
sos-math(21)
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Re: URGENT DÉMONSTRATION PAR L'ABSURDE

Message par sos-math(21) » mer. 2 déc. 2020 16:05

Bonjour,
si on suppose que \(\sqrt{3}\) est rationnel, alors il existe deux entiers \(p\) et \(q\) premiers entre eux tels que \(\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}\) : cela signifie que la fraction est supposée irréductible.
À partir de l'égalité \(\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}\), on a \(p=\sqrt{3}q\), donc en élevant au carré, on a \(p^2=3q^2\).
Cette relation signifie que 3 est un diviseur de \(p^2\).
Pour montrer que 3 est aussi un diviseur de \(p\), alors on procède par disjonction de cas :
Dans la division euclidienne du nombre entier \(p\) par 3, le reste est soit 0, soit 1, soit 2.
  • Si \(p = 3k+1\), alors \(p^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1\) donc si 3 divise \(p^2\), comme 3 divise \(9k^2+6k\), alors 3 divise la différence des deux : \(p^2-9k^2-6k-3=1\), ce qui est impossible
  • Si \(p=3k+2\), alors \(p^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=9k^2+12k+3+1\) donc si 3 divise \(p^2\), comme 3 divise \(9k^2+12k+3\), alors 3 divise la différence des deux : \(p^2-9k^2-12k-3=1\), ce qui est impossible
Donc il reste seulement la possibilité de \(p=3k\) donc que 3 divise aussi \(p\).
Bonne compréhension
Lili

Re: URGENT DÉMONSTRATION PAR L'ABSURDE

Message par Lili » mer. 2 déc. 2020 16:25

D'accord merci énormément
Mais pour la question où il faut montrer par l'absurde je ne suis pas sur que ça soit ça 😅
Lili

Re: URGENT DÉMONSTRATION PAR L'ABSURDE

Message par Lili » mer. 2 déc. 2020 16:33

D'accord merci énormément
Mais pour la question où il faut montrer par l'absurde je ne suis pas sur que ça soit ça 😅
Lili

Re: URGENT DÉMONSTRATION PAR L'ABSURDE

Message par Lili » mer. 2 déc. 2020 17:01

Merci énormément !!!!!
Mais je ne vois pas dans quel ordre sont les questions où est la question 1 où est la question 2 et la question 3 s'il vous plaît ?
Merciiiiii
SoS-Math(33)
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Re: URGENT DÉMONSTRATION PAR L'ABSURDE

Message par SoS-Math(33) » mer. 2 déc. 2020 17:19

Bonjour Lili, comme indiqué par sos-math(21)
1) Pour le raisonnement par l'absurde :
On suppose que 3 n'est pas un diviseur de p.
On a donc 2 cas : p =3k+1 ou 3k+2.
1er cas : p =3k+1
alors p² = (3k+1)² = 9k²+6k+1 = 3(3k²+2k) +1
donc p² n'est pas divisible par 3
ce qui contredit l'hypothèse que 3 divise p² (car p²=3q²).
Donc le cas 1 ne marche pas.
A toi d'étudier le cas 2.

2) tu as \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) si tu élèves au carré de chaque côté tu obtiens : \(3 = (\frac{p}{q})^2 = \frac{p^2}{q^2}\)
et donc \(p^2=3q^2\)
SoS-math